幻方与九宫、十六宫

文仲玄

　
幻方的歷史
　　相傳在西元前２3世紀大禹治水的時候，在黃河支流洛水中，浮現出一個 大烏龜，甲上背有９種花點的
圖案，人們將圖案中的花點數了一下，競驚奇地發現９種花點數正巧是1—9這９個數，各數位置的排列也相
當奇妙，後來人們就稱這個圖案為洛書。洛書給出的９個數所排成的方陣具有絕妙的性質，橫的３行、縱的
３列以及兩對角線上各自的數位之和都為１5。人們因它的性質之獨特而大感興趣，對其進行了多方面的研究
。我國漢朝的一本叫《數術記遺》的書，把圖Ａ叫“九宮算”，又叫九宮圖，宋朝數學家楊輝把類似“九宮
圖”的圖形叫“縱橫圖”，國外數學家把它叫做“幻方”。在公元１５世紀時，住在君士坦丁堡的魔索普拉
把我國的縱橫圖介紹給歐洲人，並取名為ｍagic ｓquare，因為縱橫圖具有如此變幻莫測的特別性質，所以在
歐洲也掀起了一段占星的風潮，中古世紀的歐洲人也認為幻方具有符的法力，能夠鎮壓妖魔，許多歐洲寺院
中的神殿都使用他，而許多占星術師也將其作為護身符。

洛書
4 9 2
3 5 7
8 1 6
圖Ａ


幻方的發展   
　　我國的縱橫圖傳到歐洲，它的多彩的變幻特徵吸引了西方的數學家們，他們對此也很感興趣，並稱縱橫
圖為幻方”，意為“幻妙的方陣”。著名的數學家歐拉和漢彌爾登，大發明家佛蘭克林都對幻方有過深入的
探討。在１6、１7世紀，甚至更晚，構造幻方非常盛行，各種特色的幻方不斷誕生，1７59年，歐拉發表了獨
具一格的“馬步幻方”，19０1年法國數學家裏利發明了“平方幻方”，19５8年美國數學家霍納造出了“雙
重幻方”等。西方研究幻方的熱潮，一浪高過一浪。目前，國外已作出的最大幻方，是美國紐約的一位１3歲
少年所完成的１05階幻方。美國1９77年發射的尋求外星文明的太空船旅行者１號、２號上，除了有向宇宙人
致意的問候訊號外，還帶有一些圖片，這些圖片中就有一張是四階幻方圖．這個四階幻方的構圖，同我國的
洛書一樣，也是用不同數量的圖點佈局成的，而且它又是一個具有多種奇妙性質的四階幻方（見圖Ｂ），向
宇宙人告示了我們地球人的智慧。

7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4
圖Ｂ

      我國的縱橫圖也傳到了印度、日本以及阿拉伯等國家，也引起了他們的 極大興趣，把它作為“魔方陣”來研
究，得到不少新成果。他們還提出一些與此類似的新概念，如“魔立方體”、“魔術矩形”等。印度所編的
６4數的魔立方體就別具特色，它的各層的縱橫線上及立方體之垂線和對角線上各數之和皆相等，佛蘭克林是
一個幻方迷，他曾承認，當他任賓夕法尼亞洲議會 的職員時，為了消磨那乏味的辦公時間；他填出一些特殊
的幻方，甚至一些幻圓（它是這樣構成的，在一些按一定規則分佈的互相相交的圓的交叉處，填上—定的數
字，使得每個圓上的數字之和相等）。最近，佛蘭克林的幻圓的彩色作品在紐約的一次拍賣中被一個私人收
藏家高價買去了。

    近年來，我國對幻方的研究也頗為重視，各種雜誌上不斷刊載對幻方研究的新成果。其中尤以北京聯合大學
李立老師的研究成果最多，他分別在《內蒙古大學學報》和《數學進展》兩雜誌上，發表了許多有關
文章。