元史 - 曆志

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元史卷五十二

志第四　　曆一

　　夫明時治曆，自黃帝、堯、舜與三代之盛王，莫不重之，其文備見於傳記矣。雖去古既遠，其法不詳，然原其要，不過隨時考驗，以合於天而已。漢劉歆作《三統曆》，始立積年日法，以為推步之准。後世因之，曆唐而宋，其更元改法者，凡數十家，豈故相為乖異哉？蓋天有不齊之運，而曆為一定之法，所以既久而不能不差，既差則不可不改也。

　　元初承用金《大明曆》，庚辰歲，太祖西征，五月望，月蝕不效；二月、五月朔，微月見於西南。中書令耶律楚材以《大明曆》後天，乃損節氣之分，減周天之秒，去交終之率，治月轉之餘，課兩曜之後先，調五行之出沒，以正《大明曆》之失。且以中元庚午歲，國兵南伐，而天下略定，推上元庚午歲天正十一月壬戌朔，子正冬至，日月合璧，五星聯珠，同會虛宿六度，以應太祖受命之符。又以西域、中原地裏殊遠，創為裏差以增損之，雖東西萬里，不復差忒。遂題其名曰《西征庚午元曆》，表上之，然不果頒用。

　　至元四年，西域劄馬魯丁撰進《萬年曆》，世祖稍頒行之。十三年，平宋，遂詔前中書左丞許衡、太子贊善王恂、都水少監郭守敬改治新曆。衡等以為金雖改曆，止以宋《紀元曆》微加增益，實未嘗測驗於天，乃與南北日官陳鼎臣、鄧元麟、毛鵬翼、劉巨淵、王素、岳鉉、高敬等參考累代曆法，複測候日月星辰消息運行之變，參別同異，酌取中數，以為曆本。十七年冬至，曆成，詔賜名曰《授時曆》。十八年，頒行天下。二十年，詔太子諭德李謙為《曆議》，發明新曆順天求合之微，考證前代人為附會之失，誠可以貽之永久，自古及今，其推驗之精，蓋未有出於此者也。今衡、恂、守敬等所撰《歷經》及謙《曆議》故存，皆可考據，是用具著於篇。惟《萬年曆》不復傳，而《庚午元曆》雖未嘗頒用，其為書猶在，因附著於後，使來者有考焉。作《曆志》。

　　授時曆議上

　　驗氣

　　天道運行，如環無端，治曆者必就陰消陽息之際，以為立法之始。陰陽消息之機，何從而見之？惟候其日晷進退，則其機將無所遁。候之之法，不過植表測景，以究其氣至之始。智作能述，前代諸人為法略備，苟能精思密索，心與理會，則前人述作之外，未必無所增益。

　　舊法擇地平衍，設水準繩墨，植表其中，以度其中晷。然表短促，尺寸之下所為分秒太、半、少之數，未易分別。表長，則分寸稍長，所不便者，景虛而淡，難得實景。前人欲就虛景之中考求真實，或設望筒，或置小表，或以木為規，皆取表端日光下徹圭面。今以銅為表，高三十六尺，端挾以二龍，舉一橫樑，下至圭面，共四十尺，是為八尺之表五。圭表刻為尺寸，舊寸一，今申而為五，厘毫差易分。別創為景符，以取實景。其制以銅葉，博二寸，長加博之二，中穿一竅，若針芥然，以方跂為趺，一端設為機軸，令可開闔，?耆其一端，使其勢斜倚，北高南下，往來遷就于虛景之中，竅達日光，僅如米許，隱然見橫樑於其中。舊法以表端測晷，所得者日體上邊之景，今以橫樑取之，實得中景，不容有毫末之差。

　　地中八尺表景，冬至長一丈三尺有奇，夏至尺有五寸。今京師長表，冬至之景七丈九尺八寸有奇，在八尺表則一丈五尺九寸六分；夏至之景一丈一尺七寸有奇，在八尺表則二尺三寸四分。雖晷景長短所在不同，而其景長為冬至，景短為夏至，則一也。惟是氣至時刻考求不易，蓋至日氣正，則一歲氣節從而正矣。劉宋祖沖之嘗取至前後二十三四日間晷景，折取其中，定為冬至，且以日差比課，推定時刻。宋皇祐間，周琮則取立冬、立春二日之景，以為去至既遠，日差頗多，易為推考。《紀元》以後諸曆，為法加詳，大抵不出沖之之法。新曆積日累月，實測中晷，自遠日以及近日，取前後日率相埒者，參考同異，初非偏取一二日之景，以取數多者為定，實減《大明曆》一十九刻二十分。仍以累歲實測中晷日差分寸，定擬二至時刻於後。

　　推至元十四年丁醜歲冬至

　　其年十一月十四日己亥，景長七丈九尺四寸八分五厘五毫；至二十一日丙午，景長七丈九尺五寸四分一厘；二十二日丁未，景長七丈九尺四寸五分五厘。以己亥、丁未二日之景相校，餘三分五毫為晷差，進二位；以丙午、丁未二日之景相校，餘八分六厘為法；除之，得三十五刻；用減相距日八百刻，餘七百六十五刻；折取其中，加半日刻，共為四百三十二刻半；百約為日，得四日；餘以十二乘之，百約為時，得三時，滿五十又作一時，共得四時；餘以十二收之，得三刻；命初起距日己亥算外，得癸卯日辰初三刻為丁醜歲冬至。此取至前後四日景。

　　十一月初九日甲午，景七丈八尺六寸三分五厘五毫；至二十六日辛亥，景七丈八尺七寸九分三厘五毫；二十七日壬子，景七丈八尺五寸五分。以甲午、壬子景相減，複以辛亥、壬子景相減，准前法求之，亦得癸卯日辰初三刻。至二十八日癸醜，景七丈八尺三寸四厘五毫，用壬子、癸醜二日之景與甲午景，准前法求之，亦合。此取至前後八九日景。

　　十一月丙戌朔，景七丈五尺九寸八分六厘五毫；二日丁亥，景七丈六尺三寸七分七厘；至十二月初六日庚申，景七丈五尺八寸五分一厘。准前法求之，亦在辰初三刻。此取至前後一十七日景。

　　十月二十一日丙子，景七丈九寸七分一厘；至十二月十六日庚午，景七丈七寸六分；十七日辛未，景七丈一寸五分六厘五毫。准前法求之，亦得辰初三刻。此取至前後二十七日景。

　　六月初五日癸亥，景一丈三尺八分；距十五年五月癸未朔，景一丈三尺三分八厘五毫；初二日甲申，景一丈二尺九寸二分五毫。准前法求之，亦合。此取至前後一百六十日景。

　　推十五年戊寅歲夏至

　　五月十九日辛醜，景一丈一尺七分七厘五毫；距二十八日庚戌，景一丈一尺七寸八分；二十九日辛亥，景一丈一尺八寸五厘五毫。用辛醜、庚戌二日之景相減，餘二厘五毫，進二位為實；複用庚戌、辛亥景相減，餘二分五厘五毫為法；除之，得九刻，用減相距日九百刻，餘八百九十一刻；半之，加半日刻，百約，得四日；餘以十二乘之，百約，得十一時；餘以十二收為刻，得三刻；命初起距日辛醜算外，得乙巳日亥正三刻夏至。此取至前後四日景。

　　十四年十二月十五日己巳，景七丈一尺三寸四分三厘；距十五年十一月初二日辛巳，景七丈七寸五分九厘五毫；初三日壬午，景七丈一尺四寸六厘。用己巳、壬午景相減，以辛巳、壬午景相減除之，亦合。此用至前後一百五十六日景。

　　十四年十二月十二日丙寅，景七丈二尺九寸七分二厘五毫；十三日丁卯，景七丈二尺四寸五分四厘五毫；十四日戊辰，景七丈一尺九寸九厘；距十五年十一月初四日癸未，景七丈一尺九寸五分七厘五毫；初五日甲申，景七丈二尺五寸五厘；初六日乙酉，景七丈三尺三分三厘五毫。前後互取，所得時刻皆合。此取至前後一百五十八九日景。

　　十四年十二月初七日辛酉，景七丈五尺四寸一分七厘；初八日壬戌，景七丈四尺九寸五分九厘五毫；初九日癸亥，景七丈四尺四寸八分六厘；距十五年十一月初九日戊子，景七丈四尺五寸二分五毫；初十日己醜，景七丈五尺三厘五毫；十一日庚寅，景七丈五尺四寸四分九厘五毫。以壬戌、己醜景相減為實，以辛酉、壬戌景相減為法，除之；或以壬戌、癸亥景相減，或以戊子、己醜景相減，若己醜、庚寅景相減，推前法求之，皆合。此取至前後一百六十三四日景。

　　推十五年戊寅歲冬至

　　其年十一月十九日戊戌，景七丈八尺三寸一分八厘五毫；距閏十一月初九日戊午，景七丈八尺三寸六分三厘五毫；初十日己未，景七丈八尺八分二厘五毫。用戊戌、戊午二日景相減，餘四分五厘為晷差，進二位，以戊午、己未景相減，餘二寸八分一厘為法，除之，得一十六刻，加相距日二千刻，半之，加半日刻，百約，得十日；餘以十二乘之，百約為時，滿五十又進一時，共得七時；餘以十二收為刻；命初起距日己亥算外，得戊申日未初三刻為戊寅歲冬至。此取至前後十日景。

　　十一月十二日辛卯，景七丈五尺八寸八分一厘五毫；十三日壬辰，景七丈六尺三寸一厘五毫；閏十一月十五日甲子，景七丈六尺三寸六分六厘五毫；十六日乙丑，景七丈五尺九寸五分三厘；十七日丙寅，景七丈五尺五寸四厘五毫。用壬辰、甲子景相減為實，以辛卯、壬辰景相減為法，除之，亦得戊申日未初三刻。或用甲子、乙丑景相減，推之，亦合。若用辛卯、乙丑景相減為實，用乙丑、丙寅景相減，除之，並同。此取至前後十六七日景。

　　十一月初八日丁亥，景七丈四尺三分七厘五毫；閏十一月二十日己巳，景七丈四尺一寸二分；二十一日庚午，景七丈三尺六寸一分四厘五毫。用丁亥、己巳景相減為實，以己巳、庚午景相減，除之，亦同。此取至前後二十一日景。

　　六月二十六日戊寅，景一丈四尺四寸五分二厘五毫；二十七日己卯，景一丈四尺六寸三分八厘；至十六年四月二日戊寅，景一丈四尺四寸八分一厘。以二戊寅景相減，用後戊寅、己卯景相減，推之，亦同。此取至前後一百五十日景。

　　五月二十八日庚戌，景一丈一尺七寸八分；至十六年四月二十九日乙巳，景一丈一尺八寸六分三厘；三十日丙午，景一丈一尺七寸八分三厘。用庚戌、丙午景相減，以乙巳、丙午景相減，推之，亦同。此取至前後百七十八日景。

　　推十六年己卯歲夏至

　　四月十九日乙未，景一丈二尺三寸六分九厘五毫；二十日丙申，景一丈二尺二寸九分三厘五毫；至五月十九日乙丑，景一丈二尺二寸六分四厘。以丙申、乙丑景相減，餘二分九厘五毫為晷差，進二位；以乙未、丙申景相減，得七分六厘為法；除之，得三十八刻；加相距日二千九百刻，半之，加半日刻，百約，得十五日；餘以十二乘之，百約，得二時；餘以十二收之，得二刻；命初起距日丙申算外，得辛亥日寅正二刻為夏至。此取至前後十五日景。

　　三月二十一日戊辰，景一丈六尺三寸九分五毫；六月十六日壬辰，景一丈六尺九分九厘五毫；十七日癸巳，景一丈六尺三寸一分一厘。用戊辰、癸巳景相減，以壬辰、癸巳景相減，准前法推之，亦合。此取至前後四十二日景。

　　三月初二日己酉，景二丈一尺三寸五厘；至七月初七日壬子，景二丈一尺一寸九分五厘五毫；初八日癸醜，景二丈一尺四寸八分六厘五毫。用己酉、壬子景相減，以壬子、癸醜景相減，如前法推之，亦合。此取至前後六十一二日景。

　　三月戊申朔，景二丈一尺六寸一分一厘；至七月初八日癸醜，景二丈一尺四寸八分六厘五毫；初九日甲寅，景二丈一尺九寸一分五厘五毫。用戊申、癸醜景相減，以癸醜、甲寅景相減，准前法推之，亦同。此取至前後六十二三日景。

　　二月十八日乙未，景二丈六尺三分四厘五毫；至七月二十一日丙寅，景二丈五尺八寸九分九厘；二十二日丁卯，景二丈六尺二寸五分九厘。用乙未、丙寅景相減，以丙寅、丁卯景相減，如前法推之，亦同。此取至前後七十五六日景。

　　二月三日庚辰，景三丈二尺一寸九分五厘五毫；至八月初五日庚辰，景三丈一尺五寸九分六厘五毫；初六日辛巳，景三丈二尺二分六厘五毫。用前庚辰與辛巳景相減，以後庚辰、辛巳景相減，如前推之，亦同。此取至前後九十日景。

　　正月十九日丁卯，景三丈八尺五寸一厘五毫；至八月十八日癸巳，景三丈七尺八寸二分三厘；十九日甲午，景三丈八尺三寸一分五毫。用丁卯、甲午景相減，以癸巳、甲午景相校，如前推之，亦同。此取至前後一百三四日景。

　　推十六年己卯歲冬至

　　十月二十四日戊戌，景七丈六尺七寸四分；至十一月二十五日己巳，景七丈六尺五寸八分；二十六日庚午，景七丈六尺一寸四分二厘五毫。用戊戌、己巳景相減，餘一寸六分為晷差，進二位；以己巳、庚午景相減，餘四寸三分七厘五毫為法；除之，得三十六刻；以相減距日三千一百刻，餘三千六十四刻；半之，加五十刻，百約，得一十五日；餘以十二乘之，百約為時，滿五十，又進一時，共得十時；餘以十二收之為刻，得二刻；命初起距日戊戌算外，得癸醜日戌初二刻冬至。此取至前後十五六日景。

　　十月十八日壬辰，景七丈四尺五分二厘五毫；十九日癸巳，景七丈四尺五寸四分五厘；二十日甲午，景七丈五尺二分五厘；至十一月二十八日壬申，景七丈五尺三寸二分；二十九日癸酉，景七丈四尺八寸五分二厘五毫；十二月甲戌朔，景七丈四尺三寸六分五厘；初二日乙亥，景七丈三尺八寸七分一厘五毫。用甲午、癸酉景相減，癸巳、甲午景相減，如前推之，亦同。若以壬申、癸酉景相減為法，推之亦同。此取至前後十八九日景。

　　若用癸巳與甲戌景相減，以壬辰、癸巳景相減，推之，或癸巳、甲午景相減，推之，或用甲戌、癸酉景相減，推之，或甲戌、乙亥景相減，推之，或以壬辰、乙亥景相減，用壬辰、癸巳景相減，推之並同。此取至前後二十日景。

　　十月十六日庚寅，景七丈三尺一分五厘；十二月初三日丙子，景七丈三尺三寸二分；初四日丁醜，景七丈二尺八寸四分二厘五毫。用庚寅、丁醜景相減，以丙子、丁醜景相減，推之亦同。此取至前後二十三日景。

　　十月十四日戊子，景七丈一尺九寸二分二厘五毫；十五日己醜，景七丈二尺四寸六分九厘；十二月初五日戊寅，景七丈二尺二寸七分二厘五毫。用己醜、戊寅景相減，以戊子、己醜景相減，推之，或用己醜、庚寅相減，推之亦同。此取至前後二十四日景。

　　十月初七日辛巳，景六丈七尺七寸四分五厘；初八日壬午，景六丈八尺三寸七分二厘五毫；初九日癸未，景六丈八尺九寸七分七厘五毫；十二月十二日乙酉，景六丈八尺一寸四分五厘。用壬午、乙酉景相減，以辛巳、壬午相減，推之，壬午、癸未景相減，推之亦同。此取至前後三十一二日景。

　　十月乙亥朔，景六丈三尺八寸七分；十二月十八日辛卯，景六丈四尺二寸九分七厘五毫；十九日壬辰，景六丈三尺六寸二分五厘。用乙亥、壬辰景相減，以辛卯、壬辰景相減，推之亦同。此取至前後三十八日景。

　　九月二十二日丙寅，景五丈七尺八寸二分五厘；十二月二十八日辛醜，景五丈七尺五寸八分；二十九日壬寅，景五丈六尺九寸一分五厘。用丙寅、辛醜景相減，以辛醜、壬寅景相減，推之亦同。此取至前後四十七八日景。

　　九月二十日甲子，景五丈六尺四寸九分二厘五毫；至十二月二十九日壬寅，景五丈六尺九寸一分五厘；至十七年正月癸卯朔，景五丈六尺二寸五分。用甲子、癸卯相減，壬寅、癸卯景相減，推之亦同。此取至前後五十日景。

　　右以累年推測到冬夏二至時刻為准，定擬至元十八年辛巳歲前冬至，當在己未日夜半後六刻，即醜初一刻。

　　歲餘歲差

　　周天之度，周歲之日，皆三百六十有五。全策之外，又有奇分，大率皆四分之一。自今歲冬至距來歲冬至，曆三百六十五日，而日行一周，凡四周，曆千四百六十，則餘一日，析而四之，則四分之一也。然天之分常有餘，歲之分常不足，其數有不能齊者，惟其所差至微，前人初未覺知。迨漢末劉洪，始覺冬至後天，謂歲周余分太強，乃作《乾象曆》，減歲餘分二千五百為二千四百六十二。至晉虞喜，宋何承天、祖沖之，謂歲當有差，因立歲差之法。其法損歲餘，益天周，使歲餘浸弱，天周浸強，強弱相減，因得日躔歲退之差。歲余、天周，二者實相為用，歲差由斯而立，日躔由斯而得，一或損益失當，詎能與天葉哉？

　　今自劉宋大明壬寅以來，凡測景驗氣得冬至時刻真數者有六，取相距積日時刻，以相距之年除之，各得其時所用歲餘。複自大明壬寅距至元戊寅積日時刻，以相距之年除之，得每歲三百六十五日二十四分二十五秒，比《大明曆》減去一十一秒，定為方今所用歲餘。餘七十五秒，用益所謂四分之一，共為三百六十五度二十五分七十五秒，定為天周。余分強弱相減，餘一分五十秒，用除全度，得六十六年有奇，日卻一度，以六十六年除全度，適得一分五十秒，定為歲差。

　　複以《堯典》中星考之，其時冬至日在女、虛之交。及考之前史，漢元和二年，冬至日在鬥二十一度；晉太元九年，退在鬥十七度；宋元嘉十年，在鬥十四度末；梁大同十年，在鬥十二度；隋開皇十八年，猶在鬥十二度；唐開元十二年，在鬥九度半；今退在箕十度。取其距今之年、距今之度較之，多者七十餘年，少者不下五十年，輒差一度。宋慶元間，改《統天曆》，取大衍歲差率八十二年及開元所距之差五十五年，折取其中，得六十七年，為日卻行一度之差。施之今日，質諸天道，實為密近。

　　然古今曆法，合於今必不能通于古，密于古必不能驗於今。今《授時曆》，以之考古，則增歲餘而損歲差；以之推來，則增歲差而損歲餘；上推春秋以來冬至，往往皆合；下求方來，可以永久而無弊；非止密於今日而已。仍以《大衍》等六曆，考驗春秋以來冬至疏密，凡四十九事，具列如後。

　　○冬至刻

　　《大衍》《宣明》《紀元》《天》《大明》《授時》

　　獻公十五年戊寅歲，正月甲寅朔旦冬至。

　　丙辰22乙卯88丁巳33乙卯2丁巳35甲寅99

　　僖公五年丙寅歲，正月辛亥朔旦冬至。

　　辛亥94辛亥66壬子74辛亥27壬子89辛亥14)

　　昭公二十年己卯歲，正月己醜朔旦冬至。

　　己醜45己醜2庚寅25戊子92庚寅29戊子83

　　宋元嘉十二年乙亥歲，十一月十五日戊辰景長。

　　戊辰35戊辰32戊辰39戊辰51戊辰41戊辰47

　　元嘉十三年丙子歲，十一月二十六日甲戌景長。

　　癸酉59癸酉57癸酉63癸酉75癸酉65癸酉71

　　元嘉十五年戊寅歲，十一月十八日甲申景長。

　　甲申8甲申6甲申十2甲申24甲申14甲申19

　　元嘉十六年己卯歲，十月二十九日己醜景長。

　　己醜33己醜3己醜37己醜48己醜37己醜44

　　元嘉十七年庚辰歲，十一月初十日甲午景長。

　　甲午57甲午55甲午61甲午72甲午63甲午68

　　元嘉十八年辛巳歲，十一月二十一日己亥景長。

　　己亥82己亥79己亥85己亥97己亥87己亥93

　　元嘉十九年壬午歲，十一月初三日乙巳景長。

　　乙巳6乙巳4乙巳十乙巳21乙巳11乙巳17

　　大明五年辛醜歲，十一月乙酉冬至。

　　甲申7甲申68甲申73甲申89甲申74甲申79

　　陳天嘉六年乙酉歲，十一月庚寅景長。

　　庚寅12庚寅13庚寅5庚寅24庚寅8庚寅17

　　光大二年戊子歲，十一月乙巳景長。

　　乙巳8乙巳86乙巳79乙巳97乙巳81乙巳9

　　太建四年壬辰歲，十一月二十九日丁卯景長。

　　丙寅83丙寅78丙寅77丙寅95丙寅98丙寅87

　　太建六年甲午歲，十一月二十日丁醜景長。

　　丁醜32丁醜33丁醜25丁醜43丁醜27丁醜36

　　太建九年丁酉歲，十一月二十三日壬辰景長。

　　癸巳4癸巳6壬辰99癸巳16癸巳空癸巳8

　　太建十年戊戌歲，十一月五日戊戌景長。

　　戊戌3戊戌3戊戌23戊戌4戊戌24戊戌33

　　隋開皇四年甲辰歲，十一月十一日己巳景長。

　　己巳77己巳78己巳69己巳86己巳71己巳86

　　開皇五年乙巳歲，十一月二十二日乙亥景長。

　　乙亥1乙亥2甲戌92乙亥11甲戌55乙亥10

　　開皇六年丙午歲，十一月三日庚辰景長。

　　庚辰25庚辰26庚辰18庚辰34庚辰19庚辰34

　　開皇七年丁未歲，十一月十四日乙酉景長。

　　乙酉5乙酉51乙酉42乙酉59乙酉44乙酉59

　　開皇十一年辛亥歲，十一月二十八日丙午景長。

　　丙午48丙午49丙午43丙午57丙午41丙午56

　　開皇十四年甲寅歲，十一月辛酉朔旦冬至。

　　壬戌21壬戌22壬戌13壬戌3壬戌14壬戌29

　　唐貞觀十八年甲辰歲，十一月乙酉景長。

　　甲申43甲申45甲申31甲申5甲申32甲申44

　　貞觀二十三年己酉歲，十一月辛亥景長。

　　庚戌65庚戌68庚戌53庚戌72庚戌54庚戌66

　　龍朔二年壬戌歲，十一月四日己未至戊午景長。

　　戊午83戊午86戊午69戊午88戊午71戊午82

　　儀鳳元年丙子歲，十一月壬申景長。

　　壬申25壬申28壬申10壬申28壬申12壬申22

　　永淳元年壬午歲，十一月癸卯景長。

　　癸卯72癸卯75癸卯57癸卯76癸卯58癸卯68

　　開元十年壬戌歲，十一月癸酉景長。

　　癸酉49癸酉54癸酉31癸酉5癸酉32癸酉46

　　開元十一年癸亥歲，十一月戊寅景長。

　　戊寅74戊寅77戊寅55戊寅74戊寅56戊寅7

　　開元十二年甲子歲，十一月癸未冬至。

　　癸未98甲申3癸未8癸未99癸未81癸未95

　　宋景德四年丁未歲，十一月戊辰日南至。

　　戊辰15戊辰26丁卯74丁卯82丁卯74丁卯8

　　皇祐二年庚寅歲，十一月三十日癸醜景長。

　　癸醜65癸醜79癸醜22癸醜25癸醜22癸醜23

　　元豐六年癸亥歲，十一月丙午景長。

　　丙午73丙午85丙午26丙午27丙午26丙午26

　　元豐七年甲子歲，十一月辛亥景長。

　　辛亥97壬子10辛亥5辛亥51辛亥5辛亥51

　　元祐三年戊辰歲，十一月壬申景長。

　　壬申94癸酉8壬申48壬申48壬申48壬申48

　　元祐四年己巳歲，十一月丁醜景長。

　　戊寅19戊寅32丁醜72丁醜72丁醜72丁醜72

　　元祐五年庚午歲，十一月壬午冬至。

　　癸未44癸未56壬午96壬午97壬午96壬午96

　　元祐七年壬申歲，十一月癸巳冬至。

　　癸巳92甲午5癸巳45癸巳45癸巳45癸巳45

　　元符元年戊寅歲，十一月甲子冬至。

　　乙丑39乙丑52甲子91甲子91甲子91甲子91

　　崇甯三年甲申歲，十一月丙申冬至。

　　丙申86丙申99丙申37丙申36丙申37丙申37

　　紹熙二年辛亥歲，十一月壬申冬至。

　　癸酉12癸酉27壬申57壬申47壬申57壬申46

　　慶元三年丁巳歲，十一月癸卯日南至。

　　甲辰59甲辰74甲辰3癸卯92甲辰3癸卯92

　　嘉泰三年癸亥歲，十一月甲戌日南至。

　　丙子5丙子21乙亥49乙亥37乙亥49乙亥37

　　嘉定五年壬申歲，十一月壬戌日南至。

　　癸亥25癸亥41壬戌69壬戌56壬戌68壬戌56

　　紹定三年庚寅歲，十一月丙申日南至。

　　丁酉65丁酉83丁酉7丙申63丁酉7丙申92

　　淳祐十年庚戌歲，十一月辛巳日南至。

　　壬午94壬午71辛巳96辛巳77辛巳94辛巳78

　　本朝至元十七年庚辰歲，十一月己未夜半後六刻冬至。

　　己未87庚申5己未25己未4己未24己未6

　　右自春秋獻公以來，凡二千一百六十餘年，用《大衍》、《宣明》、《紀元》、《統天》、《大明》、《授時》六曆推算冬至，凡四十九事。《大衍曆》合者三十二，不合者十七；《宣明曆》合者二十六，不合者二十三；《紀元曆》合者三十五，不合者十四；《統天曆》合者三十八，不合者十一；《大明曆》合者三十四，不合者十五；《授時曆》合者三十九，不合者十事。

　　今按獻公十五年戊寅歲正月甲寅朔旦冬至，《授時曆》得甲寅，《統天曆》得乙卯，後天一日；至僖公五年丙寅歲正月辛亥朔旦冬至，《授時》、《統天》皆得辛亥，與天合；下至昭公二十年己卯歲正月己醜朔旦冬至，《授時》、《統天》皆得戊子，並先一日，若曲變其法以從之，則獻公、僖公皆不合矣。以此知《春秋》所書昭公冬至，乃日度失行之驗。一也。《大衍曆》考古冬至，謂劉宋元嘉十三年丙子歲十一月甲戌日南至，《大衍》與《皇極》、《麟德》三曆皆得癸酉，各先一日，乃日度失行，非三曆之差。今以《授時曆》考之，亦得癸酉。二也。大明五年辛醜歲十一月乙酉冬至，諸曆皆得甲申，殆亦日度之差。三也。陳太建四年壬辰歲十一月丁卯景長，《大衍》、《授時》皆得丙寅，是先一日；太建九年丁酉歲十一月壬辰景長，《大衍》、《授時》皆得癸巳，是後一日；一失之先，一失之後，若合於壬辰，則差于丁酉，合于丁酉，則差於壬辰，亦日度失行之驗。五也。開皇十一年辛亥歲十一月丙午景長，《大衍》、《統天》、《授時》皆得丙午，與天合；至開皇十四年甲寅歲十一月辛酉冬至，而《大衍》、《統天》、《授時》皆得壬戌，若合于辛亥，則失於甲寅，合於甲寅，則失于辛亥，其開皇十四年甲寅歲冬至，亦日度失行。六也。唐貞觀十八年甲辰歲十一月乙酉景長，諸曆得甲申，貞觀二十三年己酉歲十一月辛亥景長，諸曆皆得庚戌，《大衍曆議》以永淳、開元冬至推之，知前二冬至乃史官依時曆以書，必非候景所得，所以不合，今以《授時曆》考之亦然。八也。自前宋以來，測景驗氣者凡十七事，其景德丁未歲戊辰日南至，《統天》、《授時》皆得丁卯，是先一日；嘉泰癸亥歲甲戌日南至，《統天》、《授時》皆得乙亥，是後一日；一失之先，一失之後，若曲變其數以從景德，則其餘十六事多後天，從嘉泰，則其餘十六事多先天，亦日度失行之驗。十也。

　　前十事皆《授時曆》所不合，以此理推之，非不合矣，蓋類其同則知其中，辨其異則知其變。今於冬至略其日度失行及史官依時曆書之者凡十事，則《授時曆》三十九事皆中，《統天曆》與今曆不合者僅有獻公一事，《大衍曆》推獻公冬至後天二日，《大明》後天三日，《授時曆》與天合。下推至元庚辰冬至，《大衍》後天八十一刻，《大明》後天一十九刻，《統天曆》先天一刻，《授時曆》與天合。以前代諸曆校之，《授時》為密，庶幾千歲之日至，可坐而致雲。

　　古今曆參校疏密

　　《授時曆》與古曆相校，疏密自見，蓋上能合於數百載之前，則下可行之永久，此前人定說。古稱善治曆者，若宋何承天，隋劉焯，唐傅仁均、僧一行之流，最為傑出。今以其曆與至元庚辰冬至氣應相校，未有不舛戾者，而以新曆上推往古，無不吻合，則其疏密從可知已。

　　宋文帝元嘉十九年壬午歲十一月乙巳日十一刻冬至，距本朝至元十七年庚辰歲，計八百三十八年。其年十一月，氣應己未六刻冬至，《元嘉曆》推之，得辛酉，後《授時》二日，《授時》上考元嘉壬午歲冬至，得乙巳，與元嘉合。

　　隋大業三年丁卯歲十一月庚午日五十二刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計六百七十三年。《皇極曆》推之，得庚申冬至，後《授時》一日；《授時》上考大業丁卯歲冬至，得庚午，與《皇極》合。

　　唐武德元年戊寅歲十一月戊辰日六十四刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計六百六十二年。《戊寅曆》推之，得庚申冬至，後《授時》一日；《授時曆》上考武德戊寅歲，得戊辰冬至，與《戊寅曆》合。

　　開元十五年丁卯歲十一月己亥日七十二刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計五百五十三年。《大衍曆》推之，得己未冬至，後《授時》八十一刻；《授時曆》上考開元丁卯歲，得己亥冬至，與《大衍曆》合，先四刻。

　　長慶元年辛醜歲十一月壬子日七十六刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計四百五十九年。《宣明曆》推之，得庚申冬至，後《授時》一日；《授時曆》上考長慶辛醜歲，得壬子冬至，與《宣明曆》合。

　　宋太平興國五年庚辰歲十一月丙午日六十三刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計三百年。《乾元曆》推之，得庚申冬至，後《授時》一日；《授時曆》上考太平興國庚辰歲，得丙午冬至，與《乾元》合。

　　咸平三年庚子歲十一月辛卯日五十三刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計二百八十年。《儀天曆》推之，得庚申冬至，後《授時》一日；《授時》上考咸平庚子歲，得辛卯冬至，與《儀天》合。

　　崇寧四年乙酉歲十一月辛醜日六十二刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計一百七十五年。《紀元曆》推之，得己未日冬至，後《授時》十九刻；《授時曆》上考崇寧乙酉歲，得辛醜日冬至，與《紀元曆》合，先二刻。

　　金大定十九年己亥歲十一月己巳日六十四刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計一百一年。《大明曆》推之，得己未冬至，後《授時》一十九刻；《授時曆》上考大定己亥歲，己巳冬至，與《大明曆》合，先九刻。《大明》冬至蓋測驗未密故也。

　　慶元四年戊午歲十一月己酉日一十七刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計八十二年。《統天曆》推之，得己未冬至，先《授時》一刻；《授時曆》上考慶元戊午歲，得己酉日冬至，與《統天曆》合。

　　周天列宿度

　　列宿著於天，為舍二十有八，為度三百六十五有奇。非日躔無以校其度，非列舍無以紀其度，周天之度，因二者以得之。天體渾圓，當二極南北之中，絡以赤道，日月五星之行，常出入於比。天左旋，日月五星溯而右轉，昔人曆象日月星辰，謂此也。然列舍相距度數，歷代所測不同，非微有動移，則前人所測或有未密。古用窺管，今新制渾儀，測用二線，所測度數分秒與前代不同者，今列于左。

　　表略

　　日躔

　　日之麗天，縣象最著，大明一生，列宿俱熄。古人欲測躔度所在，必以昏旦夜半中星衡考其所距，從考其所當；然昏旦夜半時刻未易得真，時刻一差，則所距、所當，不容無舛。晉薑岌首以月食沖檢，知日度所在；《紀元曆》複乙太白志其相距遠近，於昏後明前驗定星度，因得日躔。今用至元丁醜四月癸酉望月食既，推求得冬至日躔赤道箕宿十度，黃道九度有奇。仍自其年正月至己卯歲終，三年之間，日測太陰所離宿次及歲星、太白相距度，定驗參考，共得一百三十四事，皆躔箕宿，適與月食所沖允合。以金趙知微所修《大明曆法》推之，冬至猶躔鬥初度三十六分六十四秒，比新測實差七十六分六十四秒。

　　日行盈縮

　　日月之行，有冬有夏，言日月行度，冬夏各不同也。人徒知日行一度，一歲一周天，曾不知盈縮損益，四序有不同者。北齊張子信積候合蝕加時，覺日行有入氣差，然損益未得其正。趙道嚴複准晷景長短，定日行進退，更造盈縮以求虧食。至劉焯立躔度，與四序升降，雖損益不同，後代祖述用之。

　　夫陰陽往來，馴積而變，冬至日行一度強，出赤道二十四度弱，自此日軌漸北，積八十八日九十一分，當春分前三日，交在赤道，實行九十一度三十一分而適平。自後其盈日損，複行九十三日七十一分，當夏至之日，入赤道內二十四度弱，實行九十一度三十一分，日行一度弱，向之盈分盡損而無餘。自此日軌漸南，積九十三日七十一分，當秋分後三日，交在赤道，實行九十一度三十一分而複平。自後其縮日損，行八十八日九十一分，出赤道外二十四度弱，實行九十一度三十一分，複當冬至，向之縮分盡損而無餘。盈縮均有損益，初為益，末為損。自冬至以及春分，春分以及夏至，日躔自北陸轉而西，西而南，於盈為益，益極而損，損至於無餘而縮。自夏至以及秋分，秋分以及冬至，日躔自南陸轉而東，東而北，於縮為益，益極而損，損至於無餘而複盈。盈初縮末，俱八十八日九十一分而行一象；縮初盈末，俱九十三日七十一分而行一象；盈縮極差，皆二度四十分。由實測晷景而得，仍以算術推考，與所測允合。

　　月行遲疾

　　古曆謂月平行十三度十九分度之七。漢耿壽昌以為日月行至牽牛、東井，日過度，月行十五度，至婁、角，始平行，赤道使然。賈逵以為今合朔、弦、望、月食加時，所以不中者，蓋不知月行遲疾意。李梵、蘇統皆以月行當有遲疾，不必在牽牛、東井、婁、角之間，乃由行道有遠近出入所生。劉洪作《乾象曆》，精思二十餘年，始悟其理，列為差率，以囿進退損益之數。後之作曆者，鹹因之。至唐一行，考九道委蛇曲折之數，得月行疾徐之理。

　　先儒謂月與五星，皆近日而疾，遠日而遲。曆家立法，以入轉一周之日，為遲疾二曆，各立初末二限，初為益，末為損。在疾初遲末，其行度率過於平行；遲初疾末，率不及于平行。自入轉初日行十四度半強，從是漸殺，曆七日，適及平行度，謂之疾初限，其積度比平行餘五度四十二分。自是其疾日損，又曆七日，行十二度微強，向之益者盡損而無餘，謂之疾末限。自是複行遲度，又曆七日，適及平行度，謂之遲初限，其積度比平行不及五度四十二分。自此其遲日損，行度漸增，又曆七日，複行十四度半強，向之益者亦損而無餘，謂之遲末限。入轉一周，實二十七日五十五刻四十六分，遲疾極差皆五度四十二分。舊曆日為一限，皆用二十八限。今定驗得轉分進退時各不同，今分日為十二，共三百三十六限，半之為半周限，析而四之為象限。

　　白道交周

　　當二極南北之中，橫絡天體以紀宿度者，赤道也。出入赤道，為日行之軌者，黃道也。所謂白道，與黃道交貫，月行之所由也。古人隨方立名，分為八行，與黃道而九，究而言之，其實一也。惟其隨交遷徙，變動不居，故強以方色名之。

　　月道出入日道，兩相交值，當朔則日為月所掩，當望則月為日所沖，故皆有食。然涉交有遠近，食分有深淺，皆可以數推之。所謂交周者，月道出入日道一周之日也。日道距赤道之遠，為度二十有四。月道出入日道，不逾六度；其距赤道也，遠不過三十度，近不下十八度。出黃道外為陽，入黃道內為陰，陰陽一周，分為四象。月當黃道為正交，出黃道外六度為半交，複當黃道為中交，入黃道內六度為半交，是為四象。象別七日，各行九十一度，四象周曆，是謂一交之終，以日計之，得二十七日二十一刻二十二分二十四秒。每一交，退天一度二百分度之九十三，凡二百四十九交，退天一周有奇，終而複始。正交在春正，半交出黃道外六度，在赤道內十八度。正交在秋正，半交出黃道外六度，在赤道外三十度。中交在春正，半交入黃道內六度，在赤道內三十度。中交在秋正，半交入黃道內六度，在赤道外十八度。月道與赤道正交，距春秋二正黃赤道正交宿度，東西不及十四度三分度之二。夏至在陰曆內，冬至在陽曆外，月道與赤道所差者多；夏至在陽曆外，冬至在陰曆內，月道與赤道所差者少。蓋白道二交，有斜有直，陰陽二曆，有內有外，直者密而狹，斜者疏而闊，其差亦從而異。今立象置法求之，差數多者不過三度五十分，少者不下一度三十分，是為月道與赤道多少之差。

　　晝夜刻

　　日出為晝，日入為夜，晝夜一周，共為百刻。以十二辰分之，每辰得八刻三分刻之一。無間南北，所在皆同。晝短則夜長，夜短則晝長，此自然之理也。春秋二分，日當赤道出入，晝夜正等，各五十刻。自春分以及夏至，日入赤道內，去極浸近，夜短而晝長。自秋分以及冬至，日出赤道外，去極浸遠，晝短而夜長。以地中揆之，長不過六十刻，短不過四十刻。地中以南，夏至去日出入之所為遠，其長有不及六十刻者；冬至去日出入之所為近，其短有不止四十刻者。地中以北，夏至去日出入之所為近，其長有不止六十刻者；冬至去日出入之所為遠，其短有不及四十刻者。今京師冬至日出辰初二刻，日入申正二刻，故晝刻三十八，夜刻六十二；夏至日出寅正二刻，日入戌初二刻，故晝刻六十二，夜刻三十八。蓋地有南北，極有高下，日出入有早晏，所以不同耳。今《授時曆》晝夜刻，一以京師為正，其各所實測北極高下，具見《天文志》。

小小朋友

元史卷五十三

志第五　　曆二

　　○授時曆議下

　　交食

　　曆法疏密，驗在交食，然推步之術難得其密，加時有早晚，食分有淺深，取其密合，不容偶然。推演加時，必本於躔離朓朒；考求食分，必本於距交遠近；苟入氣盈縮、入轉遲疾未得其正，則合朔不失之先，必失之後。合朔失之先後，則虧食時刻，其能密乎？日月俱東行，而日遲月疾，月追及日，是為一會。交值之道，有陽曆陰曆；交會之期，有中前中後；加以地形南北東西之不同，人目高下邪直之各異，此食分多寡，理不得一者也。今合朔既正，則加時無早晚之差；氣刻適中，則食分無強弱之失；推而上之，自《詩》、《書》、《春秋》及三國以來所載虧食，無不合焉者。合於既往，則行之悠久，自可無弊矣。

　　《詩》、《書》所載日食二事

　　《書·胤征》：「惟仲康肇位四海。乃季秋月朔，辰弗集于房。」

　　今按《大衍曆》作仲康即位之五年癸巳，距辛巳三千四百八年，九月庚戌朔，泛交二十六日五千四百二十一分入食限。

　　《詩·小雅·十月之交》，大夫刺幽王也。「十月之交，朔日辛卯，日有食之，亦孔之醜。」

　　今按梁太史令虞絪雲：十月辛卯朔，在幽王六年乙丑朔。《大衍》亦以為然。以《授時曆》推之，是歲十月辛卯朔，泛交十四日五千七百九分入食限。

　　《春秋》日食三十七事

　　隱公三年辛酉歲，春王二月己巳，日有食之。

　　杜預雲：「不書朔，史官失之。」《公羊》雲：「日食或言朔或不言朔，或日或不日，或失之前或失之後，失之前者朔在前也，失之後者朔在後也。」《谷梁》雲：「言日不言朔，食晦日也。」薑岌校《春秋》日食雲：「是歲二月己亥朔，無己巳，似失一閏。

　　三月己巳朔，去交分入食限。」《大衍》與薑岌合。今《授時曆》推之，是歲三月己巳朔，加時在晝，去交分二十六日六千六百三十一入食限。

　　桓公三年壬申歲，七月壬辰朔，日有食之。

　　薑岌以為是歲七月癸亥朔，無壬辰，亦失閏。其八月壬辰朔，去交分入食限。《大衍》與薑岌合。以今曆推之，是歲八月壬辰朔，加時在晝，食六分一十四秒。

　　桓公十七年丙戌歲，冬十月朔，日有食之。

　　《左氏》雲：「不書日，史官失之。」《大衍》推得在十一月交分入食限，失閏也。以今曆推之，是歲十一月加時在晝，交分二十六日八千五百六十入食限。

　　莊公十八年乙巳歲，春王三月，日有食之。

　　《谷梁》雲：「不言日，不言朔，夜食也。」《大衍》推是歲五月朔，交分入食限，三月不應食。以今曆推之，是歲三月朔，不入食限。五月壬子朔，加時在晝，交分入食限，蓋誤五為三。

　　莊公二十五年壬子歲，六月辛未朔，日有食之。

　　《大衍》推之，七月辛未朔，交分入食限。以今曆推之，是歲七月辛未朔，加時在晝，交分二十七日四百八十九入食限，失閏也。

　　莊公二十六年癸醜歲，冬十有二月癸亥朔，日有食之。

　　今曆推之，是歲十二月癸亥朔，加時在晝，交分十四日三千五百五十一入食限。

　　莊公三十年丁巳歲，九月庚午朔，日有食之。

　　今曆推之，是歲十月庚午朔，加時在晝，去交分十四日四千六百九十六入食限，失閏也。《大衍》同。

　　僖公十二年癸酉歲，春王三月庚午朔，日有食之。

　　薑氏雲：「三月朔，交不應食，在誤條；其五月庚午朔，去交分入食限。」《大衍》同。今曆推之，是歲五月庚午朔，加時在晝，去交分二十六日五千一百九十二入食限，蓋五誤為三。

　　僖公十五年丙子歲，夏五月，日有食之。

　　《左氏》雲：「不書朔與日，史官失之也。」《大衍》推四月癸醜朔，去交分入食限，差一閏。今曆推之，是歲四月癸醜朔，去交分一日一千三百一十六入食限。

　　文西元年乙未歲，二月癸亥朔，日有食之。

　　薑氏雲：「二月甲午朔，無癸亥。三月癸亥朔，入食限。」《大衍》亦以為然。今曆推之，是歲三月癸亥朔，加時在晝，去交分二十六日五千九百十七分入食限，失閏也。

　　文公十五年己酉歲，六月辛醜朔，日有食之。

　　今曆推之，是歲六月辛醜朔，加時在晝，交分二十六日四千四百七十三分入食限。

　　宣公八年庚申歲，秋七月甲子，日有食之。

　　杜預以七月甲子晦食。薑氏雲：「十月甲子朔，食。」《大衍》同。今曆推之，是歲十月甲子朔，加時在晝，食九分八十一秒，蓋十誤為七。

　　宣公十年壬戌歲，夏四月丙辰，日有食之。

　　今曆推之，是月丙辰朔，加時在晝，交分十四日九百六十八分入食限。

　　宣公十七年己巳歲，六月癸卯，日有食之。

　　薑氏雲：「六月甲辰朔，不應食。」《大衍》雲：「是年五月在交限，六月甲辰朔，交分已過食限，蓋誤。」今曆推之，是歲五月乙亥朔，入食限。六月甲辰朔，泛交二日已過食限，《大衍》為是。

　　成公十六年丙戌歲，六月丙寅朔，日有食之。

　　今曆推之，是歲六月丙寅朔，加時在晝，去交分二十六日九千八百三十五分入食限。

　　成公十七年丁亥歲，十有二月丁巳朔，日有食之。

　　薑氏雲：「十二月戊子朔，無丁巳，似失閏。」《大衍》推十一月丁巳朔，交分入食限。今曆推之，是歲十一月丁巳朔，加時在晝，交分十四日二千八百九十七分入食限，與《大衍》同。

　　襄公十四年壬寅歲，二月乙未朔，日有食之。

　　今曆推之，是歲二月乙未朔，加時在晝，交分十四日一千三百九十三分入食限也。

　　襄公十五年癸卯歲，秋八月丁巳朔，日有食之。

　　薑氏雲：「七月丁巳朔，食，失閏也。」《大衍》同。今曆推之，是歲七月丁巳朔，加時在晝，去交分二十六日三千三百九十四分入食限。

　　襄公二十年戊申歲，冬十月丙辰朔，日有食之。

　　今曆推之，是歲十月丙辰朔，加時在晝，交分十三日七千六百分入食限。

　　襄公二十一年己酉歲，秋七月庚戌朔，日有食之。

　　今曆推之，是月庚戌朔，加時在晝，交分十四日三千六百八十二分入食限。

　　冬十月庚辰朔，日有食之。

　　薑氏雲：「比月而食，宜在誤條。」《大衍》亦以為然。今曆推之，十月已過交限，不應頻食，薑說為是。

　　襄公二十三年辛亥歲，春王二月癸酉朔，日有食之。

　　今曆推之，是月癸酉朔，加時在晝，交分二十六日五千七百三分入食限。

　　襄公二十四年壬子歲，秋七月甲子朔，日有食之，既。

　　今曆推之，是月甲子朔，加時在晝，日食九分六秒。

　　八月癸巳朔，日有食之。

　　《漢志》：「董仲舒以為比食又既。」《大衍》雲：「不應頻食，在誤條。」今曆推之，立分不葉，不應食，《大衍》說是。

　　襄公二十七年乙卯歲，冬十有二月乙亥朔，日有食之。

　　薑氏雲：「十一月乙亥朔，交分入限，應食。」《大衍》同。今曆推之，是歲十一月乙亥朔，加時在晝，交分初日八百二十五分入食限。

　　昭公七年丙寅歲，夏四月甲辰朔，日有食之。

　　今曆推之，是月甲辰朔，加時在晝，交分二十七日二百九十八分入食限。

　　昭公十五年甲戌歲，六月丁巳朔，日有食之。

　　《大衍》推五月丁巳朔，食，失一閏。今曆推之，是歲五月丁巳朔，加時在晝，交分十三日九千五百六十七分入食限。

　　昭公十七年丙子歲，夏六月甲戌朔，日有食之。

　　薑氏雲：「六月乙巳朔，交分不葉，不應食，當誤。」《大衍》雲：「當在九月朔，六月不應食，薑氏是也。」今曆推之，是歲九月甲戌朔，加時在晝，交分二十六日七千六百五十分入食限。

　　昭公二十一年庚辰歲，七月壬午朔，日有食之。

　　今曆推之，是月壬午朔，加時在晝，交分二十六日八千七百九十四分入食限。

　　昭公二十二年辛巳歲，冬十有二月癸酉朔，日有食之。

　　今曆推之，是月癸酉朔，交分十四日一千八百入食限。杜預以長曆推之，當為癸卯，非是。

　　昭公二十四年癸未歲，夏五月乙未朔，日有食之。

　　今曆推之，是月乙未朔，加時在晝，交分二十六日三千八百三十九分入食限。

　　昭公三十一年庚寅歲，十有二月辛亥朔，日有食之。

　　今曆推之，是月辛亥朔，加時在晝，交分二十六日六千一百二十八分入食限。

　　定公五年丙申歲，春三月辛亥朔，日有食之。

　　今曆推之，三月辛卯朔，加時在晝，交分十四日三百三十四分入食限。

　　定公十二年癸卯歲，十一月丙寅朔，日有食之。

　　今曆推之，是歲十月丙寅朔，加時在晝，交分十四日二千六百二十二分入食限，蓋失一閏。

　　定公十五年丙午歲，八月庚辰朔，日有食之。

　　今曆推之，是月庚辰朔，加時在晝，交分十三日七千六百八十五分入食限。

　　哀公十四年庚申歲，夏五月庚申朔，日有食之。

　　今曆推之，是月庚申朔，加時在晝，交分二十六日九千二百一分入食限。

　　右《詩》、《書》所載日食二事，《春秋》二百四十二年間，凡三十有七事，以《授時曆》推之，惟襄公二十一年十月庚辰朔及二十四年八月癸巳朔不入食限，蓋自有曆以來，無比月而食之理。其三十五食，食皆在朔，《經》或不書日，不書朔，《公羊》、《谷梁》以為食晦，二者非；《左氏》以為史官失之者，得之。其間或差一日二日者，蓋由古曆疏闊，置閏失當之弊，姜岌、一行已有定說。孔子作書，但因時曆以書，非大義所關，故不必致詳也。

　　三國以來日食

　　蜀章武元年辛醜，六月戊辰晦，時加未。

　　《授時曆》，食甚未五刻。

　　《大明曆》，食甚未五刻。

　　右皆親。二曆推戊辰皆七月朔。

　　魏黃初三年壬寅，十一月庚申晦食，時加西南維。

　　《授時曆》，食甚申二刻。

　　《大明曆》，食甚申三刻。

　　右《授時》親，《大明》次親。二曆推庚申皆十二月朔。

　　梁中大通五年癸醜，四月己未朔食，在丙。

　　《授時曆》，虧初午四刻。

　　《大明曆》，虧初午四刻。

　　右皆親。

　　太清元年丁卯，正月己亥朔食，時加申。

　　《授時曆》，食甚申一刻。

　　《大明曆》，食甚申三刻。

　　右《授時》次親，《大明》親。

　　陳太建八年丙申，六月戊申朔食，於卯甲間。

　　《授時曆》，食甚卯二刻。

　　《大明曆》，食甚卯四刻。

　　右《授時》次親，《大明》疏遠。

　　唐永隆元年庚辰，十一月壬申朔食，巳四刻甚。

　　《授時曆》，食甚巳七刻。

　　《大明曆》，食甚巳五刻。

　　右《授時》疏，《大明》親。

　　開耀元年辛巳，十月丙寅朔食，巳初甚。

　　《授時曆》，食甚辰正三刻。

　　《大明曆》，食甚辰正一刻。

　　右《授時》親，《大明》疏。

　　嗣聖八年辛卯，四月壬寅朔食，卯二刻甚。

　　《授時曆》，食甚寅八刻。

　　《大明曆》，食甚卯初刻。

　　右皆次親。

　　十七年庚子，五月己酉朔食，申初甚。

　　《授時曆》，食甚申初二刻。

　　《大明曆》，食甚申正初刻。

　　右《授時》次親，《大明》疏遠。

　　十九年壬寅，九月乙丑朔食，申三刻甚。

　　《授時曆》，食甚申一刻。

　　《大明曆》，食甚申四刻。

　　右《授時》次親，《大明》親。

　　景龍元年丁未，六月丁卯朔食，午正甚。

　　《授時曆》，食甚午正二刻。

　　《大明曆》，食甚未初初刻。

　　右《授時》次親，《大明》疏遠。

　　開元九年辛酉，九月乙巳朔食，午正後三刻甚。

　　《授時曆》，食甚午正一刻。

　　《大明曆》，食甚午正二刻。

　　右《授時》次親，《大明》親。

　　宋慶曆六年丙戌，三月辛巳朔食，申正三刻複滿。

　　《授時曆》，複滿申正三刻。

　　《大明曆》，複滿申正一刻。

　　右《授時》密合，《大明》次親。

　　皇祐元年己醜，正月甲午朔食，午正甚。

　　《授時曆》，食甚午初三刻。

　　《大明曆》，食甚午正初刻。

　　右《授時》親，《大明》密合。

　　五年癸巳歲，十月丙申朔食，未一刻甚。

　　《授時曆》，食甚未三刻。

　　《大明曆》，食甚未初刻。

　　右《授時》次親，《大明》親。

　　至和元年甲午，四月甲午朔食，申正一刻甚。

　　《授時曆》，食甚申正一刻。

　　《大明曆》，食甚申正二刻。

　　右《授時》密合，《大明》親。

　　嘉祐四年己亥，正月丙申朔食，未三刻複滿。

　　《授時曆》，複滿未初二刻。

　　《大明曆》，複滿未初二刻。

　　右皆親。

　　六年辛醜，六月壬子朔食，未初虧初。

　　《授時曆》，虧初未初刻。

　　《大明曆》，虧初未一刻。

　　右《授時》親，《大明》次親。

　　治平三年丙午，九月壬子朔食，未二刻甚。

　　《授時曆》，食甚未三刻。

　　《大明曆》，食甚未四刻。

　　右《授時》親，《大明》次親。

　　熙寧二年己酉，七月乙丑朔食，辰三刻甚。

　　《授時曆》，食甚辰五刻。

　　《大明曆》，食甚辰四刻。

　　右《授時》次親，《大明》親。

　　元豐三年庚申，十一月己醜朔食，巳六刻甚。

　　《授時曆》，食甚巳五刻。

　　《大明曆》，食甚巳二刻。

　　右《授時》親，《大明》疏遠。

　　紹聖元年甲戌，三月壬申朔食，未六刻甚。

　　《授時曆》，食甚未五刻。

　　《大明曆》，食甚未五刻。

　　右皆親。

　　大觀元年丁亥，十一月壬子朔食，未二刻虧初，未八刻甚，申六刻複滿。

　　《授時曆》，虧初未三刻，食甚申初刻，複滿申六刻。

　　《大明曆》，虧初未初刻，食甚未七刻，複滿申五刻。

　　右《授時曆》虧初、食甚皆親，複滿密合；《大明》虧初次親，食甚、複滿皆親。

　　紹興三十二年壬午，正月戊辰朔食，申初虧初。

　　《授時曆》，虧初申一刻。

　　《大明曆》，虧初未七刻。

　　右皆親。

　　淳熙十年癸卯，十一月壬戌朔食，巳正二刻甚。

　　《授時曆》，食甚巳正二刻。

　　《大明曆》，食甚巳正一刻。

　　右《授時》密合，《大明》親。

　　慶元元年乙卯，三月丙戌朔食，午初二刻虧初。

　　《授時曆》，虧初午初一刻。

　　《大明曆》，虧初午初二刻。

　　右《授時》虧初親，《大明》虧初密合。

　　嘉泰二年壬戌，五月甲辰朔食，午初一刻虧初。

　　《授時曆》，虧初巳正三刻。

　　《大明曆》，虧初午初三刻。

　　右皆親。

　　嘉定九年丙子，二月甲申朔食，申正四刻甚。

　　《授時曆》，食甚申正三刻。

　　《大明曆》，食甚申正二刻。

　　右《授時》親，《大明》次親。

　　淳祐三年癸卯，三月丁醜朔食，巳初二刻甚。

　　《授時曆》，食甚巳初一刻。

　　《大明曆》，食甚巳初初刻。

　　右《授時》親，《大明》次親。

　　本朝中統元年庚申，三月戊辰朔食，申正二刻甚。

　　《授時曆》，食甚申正一刻。

　　《大明曆》，食甚申初三刻。

　　右《授時》親，《大明》疏。

　　至元十四年丁醜，十月丙辰朔食，午正初刻虧初，未初一刻食甚，未正二刻複滿。

　　《授時曆》，虧初午正初刻，食甚未初一刻，複滿未正一刻。

　　《大明曆》，虧初午正三刻，食甚未正一刻，複滿申初二刻。

　　右《授時》虧初、食甚皆密合，複滿親；《大明》虧初疏，食甚、複滿皆疏遠。

　　前代考古交食，同刻者為密合，相較一刻為親，二刻為次親，三刻為疏，四刻為疏遠。今《授時》、《大明》校古日食，上自後漢章武元年，下訖本朝，計三十五事。密合者，《授時》七，《大明》二。親者，《授時》十有七，《大明》十有六。次親者，《授時》十，《大明》八。疏者，《授時》一，《大明》三。疏遠者，《授時》無，《大明》六。

　　前代月食

　　宋元嘉十一年甲戌，七月丙子望食，四更二唱虧初，四更四唱食既。

　　《授時曆》，虧初四更三點，食既在四更四點。

　　《大明曆》，虧初在四更二點，食既在四更五點。

　　右《授時》虧初親，食既密合；《大明》虧初密合，食既親。

　　十三年丙子，十二月癸巳望食，一更三唱食既。

　　《授時曆》，食既在一更三點。

　　《大明曆》，食既在一更四點。

　　右《授時》密合，《大明》親。

　　十四年丁醜，十一月丁亥望食，二更四唱虧初，三更一唱食既。

　　《授時曆》，虧初在二更五點，食既在三更二點。

　　《大明曆》，虧初在二更四點，食既在三更二點。

　　右《授時》虧初、食既皆親；《大明》虧初密合，食既親。

　　梁中大通二年庚戌，五月庚寅望月食，在子。

　　《授時曆》，食甚在子正初刻。

　　《大明曆》，食甚在子正初刻。

　　右皆密合。

　　大同九年癸亥，三月乙巳望食，三更三唱虧初。

　　《授時曆》，虧初三更一點。

　　《大明曆》，虧初三更三點。

　　右《授時》次親，《大明》密合。

　　隋開皇十二年壬子，七月己未望食，一更三唱虧初。

　　《授時曆》，虧初在一更四點。

　　《大明曆》，虧初在一更五點。

　　右《授時》親，《大明》次親。

　　十五年乙卯，十一月庚午望食，一更四點虧初，二更三點食甚，三更一點複滿。

　　《授時曆》，虧初在一更三點，食甚在二更二點，複滿在二更五點。

　　《大明曆》，虧初在一更五點，食甚在二更三點，複滿在二更五點。

　　右《授時》虧初、食甚、複滿皆親；《大明》虧初、複滿皆親，食甚密合。

　　十六年丙辰，十一月甲子望食，四更三籌複滿。

　　《授時曆》，複滿在四更四點。

　　《大明曆》，複滿在四更五點。

　　右《授時》親，《大明》次親。

　　後漢天福十二年丁未，十二月乙未望食，四更四點虧初。

　　《授時曆》，虧初四更五點。

　　《大明曆》，虧初四更一點。

　　右《授時》親，《大明》次親。

　　宋皇祐四年壬辰，十一月丙辰望食，寅四刻虧初。

　　《授時曆》，虧初在寅二刻。

　　《大明曆》，虧初在寅一刻。

　　右《授時》次親，《大明》疏。

　　嘉祐八年癸卯，十月癸未望食，卯七刻甚。

　　《授時曆》，食甚在辰初刻。

　　《大明曆》，食甚在辰初刻。

　　右皆親。

　　熙寧二年己酉，閏十一月丁未望食，亥六刻虧初，子五刻食甚，醜四刻複滿。

　　《授時曆》，虧初在亥六刻，食甚在子五刻，複滿在醜三刻。

　　《大明曆》，虧初在子初刻，食甚在子六刻，複滿在醜四刻。

　　右《授時》虧初、食甚密合，複滿親；《大明》虧初次親，食甚親，複滿密合。

　　四年辛亥，十一月丙申望食，卯二刻虧初，卯六刻甚。

　　《授時曆》，虧初在卯初刻，食甚在卯五刻。

　　《大明曆》，虧初在卯四刻，食甚在卯七刻。

　　右虧初皆次親，食甚皆親。

　　六年癸醜，三月戊午望食，亥一刻虧初，亥六刻甚，子四刻複滿。

　　《授時曆》，虧初在戌七刻，食甚在亥五刻，複滿在子三刻。

　　《大明曆》，虧初在亥二刻，食甚在亥七刻，複滿在子四刻。

　　右《授時》虧初次親，食甚、複滿皆親；《大明》虧初、食甚皆親，複滿密合。

　　七年甲寅，九月己酉望食，四更五點虧初，五更三點食既。

　　《授時曆》，虧初在四更五點，食既在五更三點。

　　《大明曆》，虧初在四更三點，食既在五更二點。

　　右《授時》虧初、食既皆密合；《大明》虧初次親，食既親。

　　崇寧四年乙酉，十二月戊寅望食，酉三刻甚，戌初刻複滿。

　　《授時曆》，食甚在酉一刻，複滿在酉七刻。

　　《大明曆》，食甚在酉三刻，複滿在戌二刻。

　　右《授時》食甚、複滿皆次親；《大明》食甚密合，複滿次親。

　　本朝至元七年庚午，三月乙卯望食，醜三刻虧初，寅初刻食甚，寅六刻複滿。

　　《授時曆》，虧初在醜二刻，食甚在寅初刻，複滿在寅六刻。

　　《大明曆》，虧初在醜四刻，食甚在寅一刻，複滿在寅七刻。

　　右《授時》虧初親，食甚、複滿密合；《大明》虧初、食甚、複滿皆親。

　　九年壬申，七月辛未望食，醜初刻虧初，醜六刻食甚，寅三刻複滿。

　　《授時曆》，虧初在子七刻，食甚在醜四刻，複滿在寅一刻。

　　《大明曆》，虧初在醜二刻，食甚在醜六刻，複滿在寅二刻。

　　右《授時》虧初親，食甚、複滿皆次親；《大明》虧初次親，食甚密合，複滿親。

　　十四年丁醜，四月癸酉望食，子六刻虧初，醜三刻食既，醜五刻甚，醜七刻生光，寅四刻複滿。

　　《授時曆》，虧初在子六刻，食既在醜四刻，食甚在醜五刻，生光醜六刻，複滿寅四刻。

　　《大明曆》，虧初在醜初刻，食既醜七刻，食甚在醜七刻，生光在醜八刻，複滿寅六刻。

　　右《授時》虧初、食甚、複滿皆密合，食既、生光皆親；《大明》虧初、食甚、複滿皆次親，食既疏遠，生光親。

　　十六年己卯，二月癸酉望食，子五刻虧初，醜二刻甚，醜七刻複滿。

　　《授時曆》，虧初在子五刻，食甚在醜二刻，複滿在醜七刻。

　　《大明曆》，虧初在子七刻，食甚在醜三刻，複滿在醜七刻。

　　右《授時》虧初、食甚、複滿皆密合；《大明》虧初次親，食甚親，複滿密合。

　　八月己醜望食，醜五刻虧初，寅初刻甚，寅四刻複滿。

　　《授時曆》，虧初在醜三刻，食甚在寅初刻，複滿在寅四刻。

　　《大明曆》，虧初在醜七刻，食甚在寅二刻，複滿在寅四刻。

　　右《授時》虧初次親，食甚、複滿皆密合；《大明》虧初、食甚皆次親，複滿密合。

　　十七年庚辰，八月甲申望食，在晝，戌一刻複滿。

　　《授時曆》，複滿在戌一刻。

　　《大明曆》，複滿在戌四刻。

　　右《授時》密合，《大明》疏。

　　已上四十五事，密合者，《授時》十有八，《大明》十有一；親者，《授時》十有八，《大明》十有七；次親者，《授時》九，《大明》十有四；疏者，《授時》無，《大明》二；疏遠者，《授時》無，《大明》一。

　　定朔

　　日平行一度，月平行十三度十九分度之七，一晝夜之間，月先日十二度有奇，曆二十九日五十三刻，複追及日，與之同度，是謂經朔。經朔雲者，謂合朔大量不出此也。日有盈縮，月有遲疾，以盈縮遲疾之數損益之，始為定朔。

　　古人立法，簡而未密，初用平朔，一大一小，故日食有在朔二，月食有在望前後者。漢張衡以月行遲疾，分為九道；宋何承天以日行盈縮，推定小餘；故月有三大二小。隋劉孝孫、劉焯欲遵用其法，時議排抵，以為迂怪，卒不能行。唐傅仁均始採用之，至貞觀十九年九月後，四月頻大，複用平朔。訖麟德元年，始用李淳風《甲子元曆》，定朔之法遂行。淳風又以晦月頻見，故立進朔之法，謂朔日小餘在日法四分之三已上者，虛進一日，後代皆循用之。然虞絪嘗曰：「朔在會同，苟躔次既合，何疑於頻大；日月相離，何拘於間小。」一行亦曰：「天事誠密，雖四大三小，庸何傷。」今但取辰集時刻所在之日以為定朔，朔雖小餘在進限，亦不之進，甚矣，人之安于故習也。

　　初曆法用平朔，止知一大一小，為法之不可易，初聞三大二小之說，皆不以為然。自有曆以來，下訖麟德，而定朔始行，四大三小，理數自然，唐人弗克若天，而止用平朔。迨本朝至元，而常議方革。至如進朔之意，止欲避晦日月見，殊不思合朔在酉戌亥，距前日之卯十八九辰矣，若進一日，則晦不見月，此論誠然。苟合朔在辰申之間，法不當進，距前日之卯已逾十四五度，則月見於晦，庸得免乎？且月之隱見，本天道之自然，朔之進退，出入為之牽強，孰若廢人用天，不復虛進，為得其實哉。至理所在，奚恤乎人言，可為知者道也。

　　不用積年日法

　　曆法之作，所以步日月之躔離，候氣朔之盈虛，不揆其端，無以測知天道，而與之吻合；然日月之行遲速不同，氣朔之運參差不一，昔人立法，必推求往古生數之始，謂之演紀上元。當斯之際，日月五星同度，如合璧連珠然。惟其世代綿遠，馴積其數至逾億萬，後人厭其布算繁多，互相推考，斷截其數而增損日法，以為得改憲之術，此歷代積年日法所以不能相同者也。然行之未遠，浸複差失，蓋天道自然，豈人為附會所能苟合哉？夫七政運行於天，進退自有常度，苟原始要終，候驗周匝，則象數昭著，有不容隱者，又何必舍目前簡易之法，而求億萬年宏闊之術哉？

　　今《授時曆》以至元辛巳為元，所用之數，一本諸天，秒而分，分而刻，刻而日，皆以百為率，比之他曆積年日法，推演附會，出於人為者，為得自然。

　　或曰：「昔人謂建曆之本，必先立元，元正然後定日法，法定然後度周天以定分至，然則曆之有積年日法尚矣。自黃帝以來，諸曆轉相祖述，殆七八十家，未聞舍此而能成者。今一切削去，無乃昧于本原，而考求未得其方歟？」是殆不然。晉杜預有雲：「治曆者，當順天以求合，非為合以驗天。」前代演積之法，不過為合驗天耳。今以舊曆頗疏，乃命厘正，法之不密，在所必更，奚暇踵故習哉。遂取漢以來諸曆積年日法及行用年數，具列於後，仍附演積數法，以釋或者之疑。

　　《三統曆》西漢太初元年丁醜鄧平造，行一百八十八年，至東漢元和乙酉，後天七十八刻。

　　積年，十一四萬四千五百一十一。

　　日法，八十一。

　　《四分曆》，東漢元和二年乙酉編?造，行一百二十一年，至建安丙戌，後天七刻。

　　積年，一萬五百六十一。

　　日法，四。

　　《乾象曆》建安十一年丙戌劉洪造，行三十一年，魏景初丁巳，後天七刻。

　　積年，八千四百五十二。

　　日法，一千四百五十七。

　　《景初曆》魏景初元年丁巳楊偉造，行二百六年，至宋元嘉癸未，先天五十刻。

　　積年，五千八十九。

　　日法，四千五百五十九。

　　《元嘉曆》宋元嘉二十年癸未何承天造，行二十年，至大明七年癸卯，先天五十刻。

　　積年，六千五百四十一。

　　日法，七百五十二。

　　《大明曆》宋大明七年癸卯宋祖沖之造，行五十八年，至魏正光辛醜，後天二十九刻。

　　積年，五萬二千七百五十七。

　　日法，三千九百三十九。

　　《正光曆》後魏正光二年辛醜李業興造，行一十九年，至興和庚申，先天十三刻。

　　積年，一十六萬八千五百九。

　　日法，七萬四千九百五十二。

　　《興和曆》興和二年庚申李業興造，行一十年，至齊天保庚午，先天九十九刻。

　　積年，二十萬四千七百三十七。

　　日法，二十萬八千五百三十。

　　《天保曆》北齊天保元年庚午宋景業造，行一十七年，至周天和丙戌，後天一日八十七刻。

　　積年，一十一萬一千二百五十七。

　　日法，二萬三千六百六十。

　　《天和曆》後周天和元年丙戌甄鸞造，行一十三年，至大象己亥，先天四十刻。

　　積年，八十七萬六千五百七。

　　日法，二萬三千四百六十。

　　《大象曆》大象元年己亥馬顯造，行五年，至隋開皇甲辰，後天十刻。

　　積年，四萬二千二百五十五。

　　日法，一萬二千九百九十二。

　　《開皇曆》隋開皇四年甲辰張賓造，行二十四年，至大業戊辰，後天七刻。

　　積年，四百一十二萬九千六百九十七。

　　日法，一十萬二千九百六十。

　　《大業曆》大業四年戊辰張胄玄造，行一十一年，至唐武德己卯，後天七刻。

　　積年，一百四十二萬八千三百一十七。

　　日法，一千一百四十四。

　　《戊寅曆》唐武德二年己卯道士傅仁均造，行四十六年，至麟德乙丑，後天四十七刻。

　　積年，一十六萬五千三。

　　日法，一萬三千六。

　　《麟德曆》麟德二年乙丑李淳風造，行六十三年，至開元戊辰，後天一十二刻。

　　積年，二十七萬四百九十七。

　　日法，一千三百四十。

　　《大衍曆》開元十六年戊辰僧一行造，行三十四年，至寶應壬寅，先天一十三刻。

　　積年，九千六百九十六萬二千二百九十七。

　　日法，三千四十。

　　《五紀曆》寶應元年壬寅郭獻之造，行二十三年，至貞元乙丑，後天二十四刻。

　　積年，二十七萬四百九十七。

　　日法，一千三百四十。

　　《貞元曆》貞元元年乙丑徐承嗣造，行三十七年，至長慶壬寅，先天十五刻。

　　積年，四十萬三千三百九十七。

　　日法，一千九十五。

　　《宣明曆》長慶二年壬寅徐昂造，行七十一年，至景福癸醜，先天四刻。

　　積年，七百七萬五百九十七。

　　日法，八千四百。

　　《崇玄曆》景福二年癸醜邊岡造，行十四年，後六十三年，至周顯德丙辰，先天四刻。

　　積年，五千三百九十四萬七千六百九十七。

　　日法，一萬三千五百。

　　《欽天曆》五代周顯德三年丙辰王樸造，行五年，至宋建隆庚申，先天二刻。

　　積年，七千二百六十九萬八千七百七十七。

　　日法，七千二百。

　　《應天曆》宋建隆元年庚申王處訥造，行二十一年，至太平興國辛巳，後天二刻。

　　積年，四百八十二萬五千八百七十七。

　　日法，一萬單二。

　　《乾元曆》太平興國六年辛巳吳昭素造，行二十年，至咸平辛醜，合。

　　積年，三千五十四萬四千二百七十七。

　　日法，二千九百四十。

　　《儀天曆》咸平四年辛醜史序造，行二十三年，至天聖甲子，合。

　　積年，七十一萬六千七百七十七。

　　日法，一萬一百。

　　《崇天曆》天聖二年甲子宋行古造，行四十年，至治平甲辰，後天五十四刻。

　　積年，九千七百五十五萬六千五百九十七。

　　日法，一萬五百九十。

　　《明天曆》治平元年甲辰周琮造，行一十年，至熙寧甲寅，合。

　　積年，七十一萬一千九百七十七。

　　日法，三萬九千。

　　《奉元曆》熙寧七年甲寅衛樸造，行十八年，至元祐壬申，後天七刻。

　　積年，八千三百一十八萬五千二百七十七。

　　日法，二萬三千七百。

　　《觀天曆》元祐七年壬申皇居卿造，行一十一年，至崇寧癸未，先天六刻。

　　積年，五百九十四萬四千九百九十七。

　　日法，一萬二千三十。

　　《占天曆》崇寧二年癸未姚舜輔造，行三年，至丙戌，後天四刻。

　　積年，二千五百五十萬一千九百三十七。

　　日法，二萬八千八十。

　　《紀元曆》崇寧五年丙戌姚舜輔造，行二十一年，至金天會丁未，合。

　　積年，二千八百六十一萬三千四百六十七。

　　日法，七千二百九十。

　　《大明曆》金天會五年丁未楊級造，行五十三年，至大定庚子，合。

　　積年，三億八千三百七十六萬八千六百五十七。

　　日法，五千二百三十。

　　《重修大明曆》大定二十年庚子趙知微重修，行一百一年，至元朝至元辛巳，後天一十九刻。

　　積年，八千八百六十三萬九千七百五十七。

　　日法，五千二百三十。

　　《統元曆》後宋紹興五年乙卯陳得一造，行三十二年，至乾道丁亥，合。

　　積年，九千四百二十五萬一千七百三十七。

　　日法，六千九百三十。

　　《乾道曆》乾道三年丁亥劉孝榮造，行九年，至淳熙丙申，後天一刻。

　　積年，九千一百六十四萬五千九百三十七。

　　日法，三萬。

　　《淳熙曆》淳熙三年丙申劉孝榮造，行一十五年，至紹熙辛亥，合。

　　積年，五千二百四十二萬二千七十七。

　　日法，五千六百四十。

　　《會元曆》紹熙二年辛亥劉孝榮造，行八年，至慶元己未，後天一十刻。

　　積年，二千五百四十九萬四千八百五十七。

　　日法，三萬八千七百。

　　《統天曆》慶元五年己未楊忠輔造，行八年，至開禧丁卯，先天六刻。

　　積年，三千九百一十七。

　　日法，一萬二千。

　　《開禧曆》開禧三年丁卯鮑浣之造，行四十四年，至淳祐辛亥，後天七刻。

　　積年，七百八十四萬八千二百五十七。

　　日法，一萬六千九百。

　　《淳祐曆》淳祐十年庚戌李德卿造，行一年，至壬子，合。

　　積年，一億二千二十六萬七千六百七十七。

　　日法，三千五百三十。

　　《會天曆》寶祐元年癸醜譚玉造，行十八年，至咸淳辛未，後天一刻。

　　積年，一千一百三十五萬六千一百五十七。

　　日法，九千七百四十。

　　《成天曆》鹹淳七年辛未陳鼎造，行四年，至至元辛巳，後天一刻。

　　積年，七千一百七十五萬八千一百五十七。

　　日法，七千四百二十。

　　此下不曾行用，見於典籍經進者二曆。

　　《皇極曆》大業間劉焯造，阻難不行，至唐武德二年己卯，先天四十三刻。

　　積年，一百萬九千五百一十七。

　　日法，一千二百四十二。

　　《乙未曆》大定二十年庚子耶律履造，不曾行用，至辛巳，後天一十九刻。

　　積年，四千四十五萬三千一百二十六。

　　日法，二萬六百九十。

　　《授時曆》元至元十八年辛巳為元。

　　積年、日法不用。

　　實測到至元十八年辛巳歲。

　　氣應，五十五日六百分。

　　閏應，二十日一千八百五十分。

　　經朔，三十四日八千七百五十分。

　　日法，二千一百九十，演紀上元己亥，距至元辛巳九千八百二十五萬一千四百二十二算。

　　氣應，五十五日六百二分。

　　閏應，二十日一千八百五十三分。

　　經朔，三十四日八千七百四十九分。

　　日法，八千二百七十，演紀上元甲子，距辛巳五百六十七萬五百五十七算，日命甲子。

　　氣應，五十五日五百三十三分。

　　閏應，二十日一千八百八分。

　　經朔，三十四日八千七百二十五分。

　　日法，六千五百七十，寅紀上元甲子，距辛巳三千九百七十五萬二千五百三十七算。

　　氣應，五十五日六百三十一分。

　　閏應，二十日一千九百一十九分。

　　經朔，三十四日八千七百一十二分。

小小朋友

元史卷五十四

志第六　　曆三

　　○授時歷經上

　　步氣朔第一

　　至元十八年歲次辛巳為元。上考往古，下驗將來，皆距立元為算。周歲消長，百年各一，其諸應等數，隨時推測，不用為元。

　　日周，一萬。

　　歲實，三百六十五萬二千四百二十五分。

　　通余，五萬二千四百二十五分。

　　朔實，二十九萬五千三百五分九十三秒。

　　通閏，十萬八千七百五十三分八十四秒。

　　歲周，三百六十五日二千四百二十五分。

　　朔策，二十九日五千三百五分九十三秒。

　　氣策，十五日二千一百八十四分三十七秒半。

　　望策，十四日七千六百五十二分九十六秒半。

　　弦策，七日三千八百二十六分四十八秒少。

　　氣應，五十五萬六百分。

　　閏應，二十萬一千八百五十分。

　　沒限，七千八百一十五分六十二秒半。

　　氣盈，二千一百八十四分三十七秒半。

　　朔虛，四千六百九十四分七秒。

　　旬周，六十萬。

　　紀法，六十。

　　推天正冬至

　　置所求距算，以歲實上推往古，每百年長一；下算將來，每百年消一。乘之，為中積。加氣應，為通積。滿旬周，去之；不盡，以日周約之為日，不滿為分。其日命甲子算外，即所求天正冬至日辰及分。如上考者，以氣應減中積，滿旬周，去之；不盡，以減旬周。餘同上。

　　求次氣

　　置天正冬至日分，以氣策累加之，其日滿紀法，去之，外命如前，各得次氣日辰及分秒。

　　推天正經朔

　　置中積，加閏應，為閏積。滿朔實，去之不盡，為閏餘，以減通積，為朔積。滿旬周，去之；不盡，以日周約之，為日，不滿為分，即所求天正經朔日及分秒。上考者，以閏應減中積，滿朔實，去之不盡，以減朔實，為閏餘。以日周約之為日，不滿為分，以減冬至日及分，不及減者，加紀法減之，命如上。

　　求弦望及次朔

　　置天正經朔日及分秒，以弦策累加之，其日滿紀法，去之，各得弦望及次朔日及分秒。

　　推沒日

　　置有沒之氣分秒，如沒限已上為有沒之氣。以十五乘之，用減氣策，余滿氣盈而一，為日，並恆氣日，命為沒日。

　　推滅日

　　置有滅之朔分秒，在朔虛分已下為有滅之朔。以三十乘之，滿朔虛而一，為日，並經朔日，命為滅日。

　　步發斂第二

　　土王策，三日四百三十六分八十七秒半。

　　月閏，九千六十二分八十二秒。

　　辰法，一萬。

　　半辰法，五千。

　　刻法，一千二百。

　　推五行用事

　　各以四立之節，為春木、夏火、秋金、冬水首用事日。以土王策減四季中氣，各得其季土始用事日。

　　氣候

　　正月

　　立春，正月節東風解凍蟄蟲始振魚陟負冰

　　雨水，正月中獺祭魚候雁北草木萌動

　　二月

　　驚蟄，二月節桃始華倉鶊鳴鷹化為鳩

　　春分，二月中玄鳥至雷乃發聲始電

　　三月

　　清明，三月節桐始華田鼠化為釐虹始見

　　穀雨，三月中萍始生鳴鳩拂其羽戴勝降于桑

　　四月

　　立夏，四月節螻蟈鳴蚯蚓出王瓜生

　　小滿，四月中苦萊秀靡草死麥秋至

　　五月

　　芒種，五月節螳螂生鵙始鳴反舌無聲

　　夏至，五月中鹿角解蜩始鳴半夏生

　　六月

　　小暑，六月節溫風至蟋蟀居壁鷹始摯

　　大暑，六月中腐草為螢土潤溽暑大雨時行

　　七月

　　立秋，七月節涼風至白露降寒蟬鳴

　　處暑，七月中鷹乃祭鳥天地始肅禾乃登

　　八月

　　白露，八月節鴻雁來玄鳥歸群鳥養羞

　　秋分，八月中雷始收聲蟄蟲壞戶水始涸

　　九月

　　寒露，九月節鴻雁來賓雀入大水為蛤菊有黃華

　　霜降，九月中豺乃祭獸草木黃落蟄蟲鹹俯

　　十月

　　立冬，十月節水始冰地始凍雉入大水為蜃

　　小雪，十月中虹藏不見天氣上升，地氣下降閉塞而成冬

　　十一月

　　大雪，十一月節鶡鴠不鳴虎始交荔挺出

　　冬至，十一月中蚯蚓結麋角解水泉動

　　十二月

　　小寒，十二月節雁北鄉鵲始巢雉雊

　　大寒，十二月中雞乳征鳥厲疾水澤腹堅

　　推中氣去經朔

　　置天正閏餘，以日周約之，為日，命之，得冬至去經朔。以月閏累加之，各得中氣去經朔日算。滿朔策，去之，乃全置閏，然俟定朔無中氣者裁之。

　　推發斂加時

　　置所求分秒，以十二乘之，滿辰法而一，為辰數；餘以刻法收之，為刻；命子正算外，即所在辰刻。如滿半辰法，通作一辰，命起子初。

　　步日躔第三

　　周天分，三百六十五萬二千五百七十五分。

　　周天，三百六十五度二十五分七十五秒。

　　半周天，一百八十二度六十二分八十七秒半。

　　象限，九十一度三十一分四十三秒太。

　　歲差，一分五十秒。

　　周應，三百一十五萬一千七十五分。

　　半歲周，一百八十二日六千二百一十二分半。

　　盈初縮末限，八十八日九千九十二分少。

　　縮初盈末限，九十三日七千一百二十分少。

　　推天正經朔弦望入盈縮曆

　　置半歲周，以閏餘日及分減之，即得天正經朔入縮曆。冬至後盈，夏至後縮。以弦策累加之，各得弦望及次朔入盈縮曆日及分秒。滿半歲周去之，即交盈縮。

　　求盈縮差

　　視入曆盈者，在盈初縮末限已下，為初限，已上，反減半歲周，餘為末限；縮者，在縮初盈末限已下，為初限，已上，反減半歲周，餘為末限。其盈初縮末者，置立差三十一，以初末限乘之，加平差二萬四千六百，又以初末限乘之，用減定差五百一十三萬三千二百，余再以初末限乘之，滿億為度，不滿退除為分秒。縮初盈末者，置立差二十七，以初末限乘之，加平差二萬二千一百，又以初末限乘之，用減定差四百八十七萬六百，余再以初末限乘之，滿億為度，不滿退除為分秒，即所求盈縮差。

　　又術：置入限分，以其日盈縮分乘之，萬約為分，以加其下盈縮積，萬約為度，不滿為分秒，亦得所求盈縮差。

　　赤道宿度

　　角十二一十亢九二十氐十六三十房五六十

　　心六五十尾十九一十箕十四十

　　右東方七宿，七十九度二十分。

　　鬥二十五二十牛七二十女十一三十五虛八九十五太

　　危十五四十室十七一十壁八六十

　　右北方七宿，九十三度八十分太。

　　奎十六六十婁十一八十胃十五六十昴十一三十

　　畢十七四十觜初五參十一一十

　　右西方七宿，八十三度八十五分。

　　井三十三三十鬼二二十柳十三三十星六三十

　　張十七二十五翼十八七十五軫十七三十

　　右南方七宿，一百八度四十分。

　　右赤道宿次，並依新制渾儀測定，用為常數，校天為密。若考往古，即用當時宿度為准。

　　推冬至赤道日度

　　置中積，以加周應為通積，滿周天分，上推往古，每百年消一；下算將來，每百年長一。去之，不盡，以日周約之為度，不滿，退約為分秒。命起赤道虛宿六度外，去之，至不滿宿，即所求天正冬至加時日躔赤道宿度及分秒。上考者，以周應減中積，滿周天，去之；不盡，以減周天，余以日周約之為度；餘同上。如當時有宿度者，止依當時宿度命之。

　　求四正赤道日度

　　置天正冬至加時赤道日度，累加象限，滿赤道宿次，去之，各得春夏秋正日所在宿度及分秒。

　　求四正赤道宿積度

　　置四正赤道宿全度，以四正赤道日度及分減之，餘為距後度；以赤道宿度累加之，各得四正後赤道宿積度及分。

　　黃赤道率

　　表略

　　推黃道宿度

　　置四正後赤道宿積度，以其赤道積度減之，余以黃道率乘之，如赤道率而一；所得，以加黃道積度，為二十八宿黃道積度；以前宿黃道積度減之，為其宿黃道度及分。其秒就近為分。

　　黃道宿度

　　角十二八十七亢九五十六氐十六四十房五四十八

　　心六二十七尾十七九十五箕九五十九

　　右東方七宿，七十八度一十二分。

　　鬥二十三四十七牛六九十女十一十二虛九分空太

　　危十五九十五室十八三十二壁九三十四

　　右北方七宿，九十四度一十分太。

　　奎十七八十七婁十二三十六胃十五八十一昴十一０八

　　畢十六五十觜初０五參十二十八

　　右西方七宿，八十三度九十五分。

　　井三十一０三鬼二一十一柳十三星六三十一

　　張十七七十九翼二十０九軫十八七十五

　　右南方七宿，一百九度八分。

　　右黃道宿度，依今曆所測赤道准冬至歲差所在算定，以憑推步。若上下考驗，據歲差每移一度，依術推變，各得當時宿度。

　　推冬至加時黃道日度

　　置天正冬至加時赤道日度，以其赤道積度減之，余以黃道率乘之，如赤道率而一；所得，以加黃道積度，即所求年天正冬至加時黃道日度及分秒。

　　求四正加時黃道日度

　　置所求年冬至日躔黃赤道差，與次年黃赤道差相減，餘四而一，所得，加象限，為四正定象度。置冬至加時黃道日度，以四正定象度累加之，滿黃道宿次，去之，各得四正定氣加時黃道度及分。

　　求四正晨前夜半日度

　　置四正恆氣日及分秒，冬夏二至，盈縮之端，以恆為定。以盈縮差命為日分，盈減縮加之，即為四正定氣日及分。置日下分，以其日行度乘之，如日周而一；所得，以減四正加時黃道日度，各得四正定氣晨前夜半日度及分秒。

　　求四正後每日晨前夜半黃道日度

　　以四正定氣日距後正定氣日為相距日，以四正定氣晨前夜半日度距後正定氣晨前夜半日度為相距度，累計相距日之行定度，與相距度相減；餘如相距日而一，為日差；相距度多為加，相距度少為減。以加減四正每日行度率，為每日行定度；累加四正晨前夜半黃道日度，滿宿次，去之，為每日晨前夜半黃道日度及分秒。

　　求每日午中黃道日度

　　置其日行定度，半之，以加其日晨前夜半黃道日度，得午中黃道日度及分秒。

　　求每日午中黃道積度

　　以二至加時黃道日度距所求日午中黃道日度，為二至後黃道積度及分秒。

　　求每日午中赤道日度

　　置所求日午中黃道積度，滿象限，去之，餘為分後；內減黃道積度，以赤道率乘之，如黃道率而一；所得，以加赤道積度及所去象限，為所求赤道積度及分秒；以二至赤道日度加而命之，即每日午中赤道日度及分秒。

　　黃道十二次宿度

　　危，十二度六十四分九十一秒。入娵訾之次，辰在亥。

　　奎，一度七十三分六十三秒。入降婁之次，辰在戌。

　　胃，三度七十四分五十六秒。入大樑之次，辰在酉。

　　畢，六度八十八分五秒。入實沈之次，辰在申。

　　井，八度三十四分九十四秒。入鶉首之次，辰在未。

　　柳，三度八十六分八十秒。入鶉火之次，辰在午。

　　張，十五度二十六分六秒。入鶉尾之次，辰在巳。

　　軫，十度七分九十七秒。入壽星之次，辰在辰。

　　氐，一度一十四分五十二秒。入大火之次，辰在卯。

　　尾，三度一分一十五秒。入析木之次，辰在寅。

　　鬥，三度七十六分八十五秒。入星紀之次，辰在醜。

　　女，二度六分三十八秒。入玄枵之次，辰在子。

　　求入十二次時刻

　　各置入次宿度及分秒，以其日晨前夜半日度減之，余以日周乘之，為實；以其日行定度為法；實如法而一，所得，依發斂加時求之，即入次時刻。

　　步月離第四

　　轉終分，二十七萬五千五百四十六分。

　　轉終，二十七日五千五百四十六分。

　　轉中，十三日七千七百七十三分。

　　初限，八十四。

　　中限，一百六十八。

　　周限，三百三十六。

　　月平行，十三度三十六分八十七秒半。

　　轉差，一日九千七百五十九分九十三秒。

　　弦策，七日三千八百二十六分四十八秒少。

　　上弦，九十一度三十一分四十三秒太。

　　望，一百八十二度六十二分八十七秒半。

　　下弦，二百七十三度九十四分三十一秒少。

　　轉應，一十三萬一千九百四分。

　　推天正經朔入轉

　　置中積，加轉應，減閏余，滿轉終分，去之，不盡，以日周約之為日，不滿為分，即天正經朔入轉日及分。上考者，中積內加所求閏餘，減轉應，滿轉終，去之，不盡，以減轉終，餘同上。

　　求弦望及次朔入轉

　　置天正經朔入轉日及分，以弦策累加之，滿轉終，去之，即弦望及次朔入轉日及分秒。如徑求次朔，以轉差加之。

　　求經朔弦望入遲疾曆

　　各視入轉日及分秒，在轉中已下，為疾曆；已上，減去轉中，為遲曆。

　　遲疾轉定及積度

　　表略

　　求遲疾差

　　置遲疾曆日及分，以十二限二十分乘之，在初限已下為初限，已上覆減中限，餘為末限。置立差三百二十五，以初末限乘之，加平差二萬八千一百，又以初末限乘之，用減定差一千一百一十一萬，余再以初末限乘之，滿億為度，不滿退除為分秒，即遲疾差。

　　又術：置遲疾曆日及分，以遲疾曆日率減之，餘以其下損益分乘之，如八百二十而一，益加損減其下遲疾度，亦為所求遲疾差。

　　求朔弦望定日

　　以經朔弦望盈縮差與遲疾差，同名相從，異名相消，盈遲縮疾為同名，盈疾縮遲為異名。以八百二十乘之，以所入遲疾限下行度除之，即為加減差，盈遲為加，縮疾為減。以加減經朔弦望日及分，即定朔弦望日及分。若定弦望分在日出分已下者，退一日，其日命甲子算外，各得定朔弦望日辰。定朔幹名與後朔幹同者，其月大；不同者，其月小；內無中氣者，為閏月。

　　推定朔弦望加時日月宿度

　　置經朔弦望入盈縮曆日及分，以加減差加減之，為定朔弦望入曆，在盈，便為中積，在縮，加半歲周，為中積；命日為度，以盈縮差盈加縮減之，為加時定積度；以冬至加時日躔黃道宿度加而命之，各得定朔弦望加時日度。

　　凡合朔加時，日月同度，便為定朔加時月度，其弦望各以弦望度加定積，為定弦望月行定積度，依上加而命之，各得定弦望加時黃道月度。

　　推定朔弦望加時赤道月度

　　各置定朔弦望加時黃道月行定積度，滿象限，去之，以其黃道積度減之，餘以赤道率乘之，如黃道率而一，用加其下赤道積度及所去象限，各為赤道加時定積度；以冬至加時赤道日度加而命之，各為定朔弦望加時赤道月度及分秒。象限已下及半周，去之，為至後；滿象限及三象，去之，為分後。

　　推朔後平交入轉遲疾曆

　　置交終日及分，內減經朔入交日及分，為朔後平交日；以加經朔入轉，為朔後平交入轉；在轉中已下，為疾曆；已上，去之，為遲曆。

　　求正交日辰

　　置經朔，加朔後平交日，以遲疾曆依前求到遲疾差，遲加疾減之，為正交日及分，其日命甲子算外，即正交日辰。

　　推正交加時黃道月度

　　置朔後平交日，以月平行度乘之，為距後度；以加經朔中積，為冬至距正交定積度；以冬至日躔黃道宿度加而命之，為正交加時月離黃道宿度及分秒。

　　求正交在二至後初末限

　　置冬至距正交積度及分，在半歲周已下，為冬至後；已上，去之，為夏至後。其二至後，在象限已下，為初限，已上，減去半歲周，為末限。

　　求定差距差定限度

　　置初末限度，以十四度六十六分乘之，如象限而一，為定差；反減十四度六十六分，餘為距差。以二十四乘定差，如十四度六十六分而一；所得，交在冬至後名減，夏至後名加，皆加減九十八度，為定限度及分秒。

　　求四正赤道宿度

　　置冬至加時赤道度，命為冬至正度；以象限累加之，各得春分、夏至、秋分正積度；各命赤道宿次去之，為四正赤道宿度及分秒。

　　求月離赤道正交宿度

　　以距差加減春秋二正赤道宿度，為月離赤道正交宿度及分秒。冬至後，初限加，末限減，視春正；夏至後，初限減，末限加，視秋正。

　　求正交後赤道積度入初末限

　　各置春秋二正赤道所當宿全度及分，以月離赤道正交宿度及分減之，餘為正交後積度；以赤道宿次累加之，滿象限去之，為半交後；又去之，為中交後；再去之，為半交後；視各交積度在半象已下，為初限；已上，用減象限，餘為末限。

　　求月離赤道正交後半交白道舊名九道出入赤道內外度及定差

　　置各交定差度及分，以二十五乘之，如六十一而一；所得，視月離黃道正交在冬至後宿度為減，夏至後宿度為加，皆加減二十三度九十分，為月離赤道後半交白道出入赤道內外度及分；以周天六之一，六十度八十七分六十二秒半，除之，為定差。月離赤道正交後為外，中交後為內。

　　求月離出入赤道內外白道去極度

　　置每日月離赤道交後初末限，用減象限，余為白道積；用其積度減之，餘以其差率乘之；所得，百約之，以加其下積差，為每日積差；用減周天六之一，餘以定差乘之，為每日月離赤道內外度；內減外加象限，為每日月離白道去極度及分秒。

　　求每交月離白道積度及宿次

　　置定限度，與初末限相減相乘，退位為分，為定差；正交、中交後為加，半交後為減。以差加減正交後赤道積度，為月離白道定積度；以前宿白道定積度減之，各得月離白道宿次及分。

　　推定朔弦望加時月離白道宿度

　　各以月離赤道正交宿度距所求定朔弦望加時月離赤道宿度，為正交後積度；滿象限，去之，為半交後；又去之，為中交後；再去之，為半交後；視交後積度在半象已下，為初限；已上，用減象限，為末限；以初末限與定限度相減相乘，退位為分，分滿百為度，為定差；正交中交後為加，半交後為減。以差加減月離赤道正交後積度，為定積度，以正交宿度加之，以其所當月離白道宿次去之，各得定朔弦望加時月離白道宿度及分秒。

　　求定朔弦望加時及夜半晨昏入轉

　　置經朔弦望入轉日及分，以定朔弦望加減差加減之，為定朔弦望加時入轉；以定朔弦望日下分減之，為夜半入轉；以晨分加之，為晨轉；昏分加之，為昏轉。

　　求夜半月度

　　置定朔弦望日下分，以其入轉日轉定度乘之，萬約為加時轉度，以減加時定積度，餘為夜半定積度；依前加而命之，各得夜半月離宿度及分秒。

　　求晨昏月度

　　置其日晨昏分，以夜半入轉日轉定度乘之，萬約為晨昏轉度；各加夜半定積度，為晨昏定積度；加命如前，各得晨昏月離宿度及分秒。

　　求每日晨昏月離白道宿次

　　累計相距日數轉定度，為轉積度；與定朔弦望晨昏宿次前後相距度相減，餘以相距日數除之，為日差；距度多為加，距度少為減。以加減每日轉定度，為行定度；以累加定朔弦望晨昏月度，加命如前，即每日晨昏月離白道宿次。朔後用晨，望後用昏，朔望晨昏俱用。

小小朋友

元史卷五十五

志第七　　曆四

　　○授時歷經下

　　步中星第五

　　大都北極，出地四十度太強。

　　冬至，去極一百一十五度二十一分七十三秒。

　　夏至，去極六十七度四十一分一十三秒。

　　冬至晝，夏至夜，三千八百一十五分九十二秒。

　　夏至晝，冬至夜，六千一百八十四分八秒。

　　昏明，二百五十分。

　　黃道出入赤道內外去極度及半晝夜分

　　表略

　　求每日黃道出入赤道內外去極度

　　置所求日晨前夜半黃道積度，滿半歲周，去之，在象限已下，為初限；已上，複減半歲周，餘為入末限；滿積度，去之，余以其段內外差乘之，百約之，所得，用減內外度，為出入赤道內外度；內減外加象限，即所求去極度及分秒。

　　求每日半晝夜及日出入晨昏分

　　置所求入初末限，滿積度，去之，餘以晝夜差乘之，百約之，所得，加減其段半晝夜分，為所求日半晝夜分；前多後少為減，前少後多為加。以半夜分便為日出分，用減日周，餘為日入分；以昏明分減日出分，餘為晨分；加日入分，為昏分。

　　求晝夜刻及日出入辰刻

　　置半夜分，倍之，百約，為夜刻；以減百刻，餘為晝刻；以日出入分依發斂求之，即得所求辰刻。

　　求更點率

　　置晨分，倍之，五約，為更率；又五約更率，為點率。

　　求更點所在辰刻

　　置所求更點數，以更點率乘之，加其日昏分，依發斂求之，即得所求辰刻。

　　求距中度及更差度

　　置半日周，以其日晨分減之，餘為距中分；以三百六十六度二十五分七十五秒乘之，如日周而一，所得，為距中度；用減一百八十三度一十二分八十七秒半，倍之，五除，為更差度及分。

　　求昏明五更中星

　　置距中度，以其日午中赤道日度加而命之，即昏中星所臨宿次，命為初更中星；以更差度累加之，滿赤道宿次去之，為逐更及曉中星宿度及分秒。其九服所在晝夜刻分及中星諸率，並准隨處北極出地度數推之。已上諸率，與晷漏所推自相符契。

　　求九服所在漏刻

　　各於所在以儀測驗，或下水漏，以定其處冬至或夏至夜刻，與五十刻相減，餘為至差刻。置所求日黃道，去赤道內外度及分，以至差刻乘之，進一位，如二百三十九而一，所得內減外加五十刻，即所求夜刻；以減百刻，餘為晝刻。其日出入辰刻及更點等率，依術求之。

　　步交會第六

　　交終分，二十七萬二千一百二十二分二十四秒。

　　交終，二十七日二千一百二十二分二十四秒。

　　交中，十三日六千六十一分一十二秒。

　　交差，二日三千一百八十三分六十九秒。

　　交望，十四日七千六百五十二分九十六秒半。

　　交應，二十六萬一百八十七分八十六秒。

　　交終，三百六十三度七十九分三十四秒。

　　交中，一百八十一度八十九分六十七秒。

　　正交，三百五十七度六十四分。

　　中交，一百八十八度五分。

　　日食陽曆限，六度。定法，六十。

　　陰曆限，八度。定法，八十。

　　月食限，十三度五分。定法，八十七。

　　推天正經朔入交

　　置中積，加交應，減閏余，滿交終分，去之；不盡，以日周約之為日，不滿為分秒，即天正經朔入交泛日及分秒。上考者，中積內加所求閏餘，減交應，滿交終去之，不盡，以減交終，餘如上。

　　求次朔望入交

　　置天正經朔入交泛日及分秒，以交望累加之，滿交終日，去之，即為次朔望入交泛日及分秒。

　　求定朔望及每日夜半入交

　　各置入交泛日及分秒，減去經朔望小餘，即為定朔望夜半入交。若定日有增損者，亦如之。否則因經為定，大月加二日，小月加一日，餘皆加七千八百七十七分七十六秒，即次朔夜半入交；累加一日，滿交終日，去之，即每日夜半入交泛日及分秒。

　　求定朔望加時入交

　　置經朔望入交泛日及分秒，以定朔望加減差加減之，即定朔望加時入交日及分秒。

　　求交常交定度

　　置經朔望入交泛日及分秒，以月平行度乘之，為交常度；以盈縮差盈加縮減之，為交定度。

　　求日月食甚定分

　　日食：視定朔分在半日周已下，去減半周，為中前；已上，減去半周，為中後；與半周相減、相乘，退二位，如九十六而一，為時差；中前以減，中後以加，皆加減定朔分，為食甚定分；以中前後分各加時差，為距午定分。

　　月食：視定望分在日週四分之一已下，為卯前；已上，覆減半周，為卯後；在四分之三已下，減去半周，為酉前；已上，覆減日周，為酉後。以卯酉前後分自乘，退二位，如四百七十八而一，為時差；子前以減，子後以加，皆加減定望分，為食甚定分；各依發斂求之，即食甚辰刻。

　　求日月食甚入盈縮曆及日行定度

　　置經朔望入盈縮曆日及分，以食甚日及定分加之，以經朔望日及分減之，即為食甚入盈縮曆；依日躔術求盈縮差，盈加縮減之，為食甚入盈縮曆定度。

　　求南北差

　　視日食甚入盈縮曆定度，在象限已下，為初限；已上，用減半歲周，為末限；以初末限度自相乘，如一千八百七十而一，為度，不滿，退除為分秒；用減四度四十六分，餘為南北泛差；以距午定分乘之，以半晝分除之，所得，以減泛差，為定差。泛差不及減者，反減之為定差，應加者減之，應減者加之。在盈初縮末者，交前陰曆減，陽曆加，交後陰曆加，陽曆減；在縮初盈末者，交前陰曆加，陽曆減，交後陰曆減，陽曆加。

　　求東西差

　　視日食甚入盈縮曆定度，與半歲周相減相乘，如一千八百七十而一，為度，不滿，退除為分秒，為東西泛差；以距午定分乘之，以日週四分之一除之，為定差。若在泛差已上者，倍泛差減之，餘為定差，依其加減。在盈中前者，交前陰曆減，陽曆加；交後陰曆加，陽曆減；中後者，交前陰曆加，陽曆減；交後陰曆減，陽曆加。在縮中前者，交前陰曆加，陽曆減；交後陰曆減，陽曆加；中後者，交前陰曆減，陽曆加；交後陰曆加，陽曆減。

　　求日食正交中交限度

　　置正交、中交度，以南北東西差加減之，為正交、中交限度及分秒。

　　求日食入陰陽曆去交前後度

　　視交定度，在中交限已下，以減中交限，為陽曆交前度；已上，減去中交限，為陰曆交後度；在正交限已下，以減正交限，為陰曆交前度；已上，減去正交限，為陽曆交後度。

　　求月食入陰陽曆去交前後度

　　視交定度，在交中度已下，為陽曆；已上，減去交中，為陰曆。視入陰陽曆，在後准十五度半已下，為交後度；前准一百六十六度三十九分六十八秒已上，覆減交中，餘為交前度及分。

　　求日食分秒

　　視去交前後度，各減陰陽曆食限，不及減者不食。餘如定法而一，各為日食之分秒。

　　求月食分秒

　　視去交前後度，不用南北東西差者。用減食限，不及減者不食。餘如定法而一，為月食之分秒。

　　求日食定用及三限辰刻

　　置日食分秒，與二十分相減、相乘，平方開之，所得，以五千七百四十乘之，如入定限行度而一，為定用分；以減食甚定分，為初虧；加食甚定分，為複圓；依發斂求之，為日食三限辰刻。

　　求月食定用及三限五限辰刻

　　置月食分秒，與三十分相減、相乘，平方開之；所得，以五千七百四十乘之，如入定限行度而一，為定用分；以減食甚定分，為初虧；加食甚定分，為複圓；依發斂求之，即月食三限辰刻。

　　月食既者，以既內分與一十分相減、相乘，平方開之，所得，以五千七百四十乘之，如入定限行度而一，為既內分；用減定用分，為既外分；以定用分減食甚定分，為初虧；加既外，為食既；又加既內，為食甚；再加既內，為生光；複加既外，為複圓；依發斂求之，即月食五限辰刻。

　　求月食入更點

　　置食甚所入日晨分，倍之，五約，為更法；又五約更法，為點法。乃置初末諸分，昏分已上，減去昏分，晨分已下，加晨分，以更法除之，為更數；不滿，以點法收之，為點數；其更點數，命初更初點算外，各得所入更點。

　　求日食所起

　　食在陽曆，初起西南，甚于正南，複于東南；食在陰曆，初起西北，甚於正北，複于東北；食八分已上，初起正西，複於正東。此據午地而論之。

　　求月食所起

　　食在陽曆，初起東北，甚於正北，複於西北；食在陰曆，初起東南，甚于正南，複於西南；食八分已上，初起正東，複於正西。此亦據午地而論之。

　　求日月出入帶食所見分數

　　視其日日出入分，在初虧已上、食甚已下者，為帶食。各以食甚分與日出入分相減，餘為帶食差；以乘所食之分，滿定用分而一，如月食既者，以既內分減帶食差，餘進一位，如既外分而一，所得，以減既分，即月帶食出入所見之分；不及減者，為帶食既出入。以減所食分，即日月出入帶食所見之分。其食甚在晝，晨為漸進，昏為已退；其食甚在夜，晨為已退，昏為漸進。

　　求日月食甚宿次

　　置日月食甚入盈縮曆定度，在盈，便為定積；在縮，加半歲周，為定積。望即更加半周天度。以天正冬至加時黃道日度，加而命之，各得日月食甚宿次及分秒。

　　步五星第七

　　曆度

　　三百六十五度二十五分七十五秒。

　　曆中

　　一百八十二度六十二分八十七秒半。

　　曆策

　　一十五度二十一分九十秒六十二微半。

　　木星

　　周率，三百九十八萬八千八百分。

　　周日，三百九十八日八十八分。

　　曆率，四千三百三十一萬二千九百六十四分八十六秒半。

　　度率，一十一萬八千五百八十二分。

　　合應，一百一十七萬九千七百二十六分。

　　曆應，一千八百九十九萬九千四百八十一分。

　　盈縮立差，二百三十六加。

　　平差，二萬五千九百一十二減。

　　定差，一千八十九萬七千。

　　伏見，一十三度。

　　表略

　　火星

　　周率，七百七十九萬九千二百九十分。

　　周日，七百七十九日九十二分九十秒。

　　曆率，六百八十六萬九千五百八十分四十三秒。

　　度率，一萬八千八百七分半。

　　合應，五十六萬七千五百四十五分。

　　曆應，五百四十七萬二千九百三十八分。

　　盈初縮末立差，一千一百三十五減。

　　平差，八十三萬一千一百八十九減。

　　定差，八千八百四十七萬八千四百。

　　縮初盈末立差，八百五十一加。

　　平差，三萬二百三十五負減。

　　定差，二千九百九十七萬六千三百。

　　伏見，一十九度。

　　表略

　　土星

　　周率，三百七十八萬九百一十六分。

　　周日，三百七十八日九分一十六秒。

　　曆率，一億七百四十七萬八千八百四十五分六十六秒。

　　度率，二十九萬四千二百五十五分。

　　合應，一十七萬五千六百四十三分。

　　曆應，五千二百二十四萬五百六十一分。

　　盈立差，二百八十三加。

　　平差，四萬一千二十二減。

　　定差，一千五百一十四萬六千一百。

　　縮立差，三百三十一加。

　　平差，一萬五千一百二十六減。

　　定差，一千一百一萬七千五百。

　　伏見，一十八度。

　　表略

　　金星

　　周率，五百八十三萬九千二十六分。

　　周日，五百八十三日九十分二十六秒。

　　曆率，三百六十五萬二千五百七十五分。

　　度率，一萬。

　　合應，五百七十一萬六千三百三十分。

　　曆應，一十一萬九千六百三十九分。

　　盈縮立差，一百四十一加。

　　平差，三減。

　　定差，三百五十一萬五千五百。

　　伏見，一十度半。

　　表略

　　水星

　　周率，一百一十五萬八千七百六十分。

　　周日，一百一十五日八十七分六十秒。

　　曆率，三百六十五萬二千五百七十五分。

　　度率，一萬。

　　合應，七十萬四百三十七分。

　　曆應，二百五萬五千一百六十一分。

　　盈縮立差，一百四十一加。

　　平差，二千一百六十五減。

　　定差，三百八十七萬七千。

　　晨伏夕見，一十六度半。

　　夕伏晨見，一十九度。

　　表略

　　推天正冬至後五星平合及諸段中積中星

　　置中積，加合應，以其星周率去之，不盡，為前合；複減周率，餘為後合；以日周約之，得其星天正冬至後平合中積中星。命為日，日中積；命為度，日中星。以段日累加中積，即諸段中積；以平度累加中星，經退則減之，即為諸段中星。上考者，中積內減合應，滿周率去之，不盡，便為所求後合分。

　　推五星平合及諸段入曆

　　各置中積，加曆應及所求後合分，滿曆率，去之；不盡，如度率而一為度，不滿，退除為分秒，即其星平合入曆度及分秒；以諸段限度累加之，即諸段入曆。上考者，中積內減曆應，滿曆率去之，不盡，反減曆率，餘加其年後合，餘同上。

　　求盈縮差

　　置入曆度及分秒，在曆中已下，為盈；已上，減去曆中，餘為縮。視盈縮曆，在九十一度三十一分四十三秒太已下，為初限；已上，用減曆中，餘為末限。

　　其火星，盈曆在六十度八十七分六十二秒半已下，為初限；已上，用減曆中，餘為末限。

　　置各星立差，以初末限乘之，去加減平差，得，又以初末限乘之，去加減定差，再以初末限乘之，滿億為度，不滿退除為分秒，即所求盈縮差。

　　又術：置盈縮曆，以曆策除之，為策數，不盡為策餘；以其下損益率乘之，曆策除之，所得，益加損減其下盈縮積，亦為所求盈縮差。

　　求平合諸段定積

　　各置其星其段中積，以其盈縮差盈加縮減之，即其段定積日及分秒；以天正冬至日分加之，滿紀法去之，不滿，命甲子算外，即得日辰。

　　求平合及諸段所在月日

　　各置其段定積，以天正閏日及分加之，滿朔策，除之為月數，不盡，為入月已來日數及分秒。其月數，命天正十一月算外，即其段入月經朔日數及分秒；以日辰相距，為所在定朔月日。

　　求平合及諸段加時定星

　　各置其段中星，以盈縮差盈加縮減之，金星倍之，水星三之。即諸段定星；以天正冬至加時黃道日度加而命之，即其星其段加時所在宿度及分秒。

　　求諸段初日晨前夜半定星

　　各以其段初行率，乘其段加時分，百約之，乃順減退加其日加時定星，即其段初日晨前夜半定星；加命如前，即得所求。

　　求諸段日率度率

　　各以其段日辰距後段日辰為日率，以其段夜半宿次與後段夜半宿次相減，餘為度率。

　　求諸段平行分

　　各置其段度率，以其段日率除之，即其段平行度及分秒。

　　求諸段增減差及日差

　　以本段前後平行分相減，為其段泛差；倍而退位，為增減差；以加減其段平行分，為初末日行分。前多後少者，加為初，減為末；前少後多者，減為初，加為末。倍增減差，為總差；以日率減一，除之，為日差。

　　求前後伏遲退段增減差

　　前伏者，置後段初日行分，加其日差之半，為末日行分。

　　後伏者，置前段末日行分，加其日差之半，為初日行分；以減伏段平行分，餘為增減差。

　　前遲者，置前段末日行分，倍其日差，減之，為初日行分。

　　後遲者，置後段初日行分，倍其日差，減之，為末日行分；以遲段平行分減之，餘為增減差。前後近留之遲段。

　　木火土三星，退行者，六因平行分，退一位，為增減差。

　　金星，前後退伏者，三因平行分，半而退位，為增減差。

　　前退者，置後段初日行分，以其日差減之，為末日行分。

　　後退者，置前段末日行分，以其日差減之，為初日行分；乃以本段平行分減之，餘為增減差。

　　水星，退行者，半平行分，為增減差；皆以增減差加減平行分，為初末日行分。前多後少者，加為初，減為末；前少後多者，減為初，加為末。又倍增減差，為總差；以日率減一，除之，為日差。

　　求每日晨前夜半星行宿次

　　各置其段初日行分，以日差累損益之，後少則損之，後多則益之，為每日行度及分秒；乃順加退減，滿宿次去之，即每日晨前夜半星行宿次。

　　求五星平合見伏入盈縮曆

　　置其星其段定積日及分秒，若滿歲周日及分秒，去之，餘在次年天正冬至後。如在半歲周已下，為入盈曆；滿半歲周，去之，為入縮曆；各在初限已下，為初限；已上，反減半歲周，餘為末限；即得五星平合見伏入盈縮曆日及分秒。

　　求五星平合見伏行差

　　各以其星其段初日星行分，與其段初日太陽行分相減，餘為行差。若金、水二星退行在退合者，以其段初日星行分，並其段初日太陽行分，為行差；內水星夕伏晨見者，直以其段初日太陽行分為行差。

　　求五星定合定見定伏泛積

　　木火土三星，以平合晨見夕伏定積日，便為定合伏見泛積日及分秒。

　　金水二星，置其段盈縮差度及分秒，水星倍之。各以其段行差除之，為日，不滿，退除為分秒。在平合夕見晨伏者，盈減縮加；在退合夕伏晨見者，盈加縮減；各以加減定積為定合伏見泛積日及分秒。

　　求五星定合定積定星

　　木火土三星，各以平合行差除其段初日太陽盈縮積，為距合差日；不滿，退除為分秒，以太陽盈縮積減之，為距合差度。各置其星定合泛積，以距合差日盈減縮加之，為其星定合定積日及分秒；以距合差度盈減縮加之，為其星定合定星度及分秒。

　　金水二星，順合退合者，各以平合退合行差，除其日太陽盈縮積，為距合差日；不滿，退除為分秒，順加退減太陽盈縮積，為距合差度。順合者，盈加縮減其星定合泛積，為其星定合定積日及分秒；退合者，以距合差日盈減縮加、距合差度盈加縮減其星退定合泛積，為其星退定合定積日及分秒；命之，為退定合定星度及分秒。以天正冬至日及分秒，加其星定合定積日及分秒，滿旬周，去之，命甲子算外，即得定合日辰及分秒。以天正冬至加時黃道日度及分秒，加其星定合定星度及分秒，滿黃道宿次，去之，即得定合所躔黃道宿度及分秒。徑求五星合伏定日：木、火、土三星，以夜半黃道日度，減其星夜半黃道宿次，餘在其日太陽行分已下，為其日伏合；金、水二星，以其星夜半黃道宿次，減夜半黃道日度，餘在其日金、水二星行分已下者，為其日伏合。金、水二星伏退合者，視其日太陽夜半黃道宿次，未行到金、水二星宿次，又視次日太陽行過金、水二星宿次，金、水二星退行過太陽宿次，為其日定合伏退定日。

　　求木火土三星定見伏定積日

　　各置其星定見定伏泛積日及分秒，晨加夕減九十一日三十一分六秒，如在半歲周已下，自相乘，已上，反減歲周，餘亦自相乘，滿七十五，除之為分，滿百為度，不滿，退除為秒；以其星見伏度乘之，一十五除之；所得，以其段行差除之，為日，不滿，退除為分秒；見加伏減泛積，為其星定見伏定積日及分秒；加命如前，即得定見定伏日辰及分秒。

　　求金水二星定見伏定積日

　　各以伏見日行差，除其段初日太陽盈縮積，為日，不滿，退除為分秒；若夕見晨伏，盈加縮減；如晨見夕伏，盈減縮加；以加減其星定見定伏泛積日及分秒，為常積。如在半歲周已下，為冬至後；已上，去之，餘為夏至後。各在九十一日三十一分六秒已下，自相乘，已上，反減半歲周，亦自相乘。冬至後晨，夏至後夕，一十八而一，為分；冬至後夕，夏至後晨，七十五而一，為分；又以其星見伏度乘之，一十五除之；所得，滿行差，除之，為日，不滿，退除為分秒，加減常積，為定積。在晨見夕伏者，冬至後加之，夏至後減之；夕見晨伏者，冬至後減之，夏至後加之；為其星定見定伏定積日及分秒；加命如前，即得定見定伏日晨及分秒。

小小朋友

元史卷五十六

志第八　　曆五

　　○庚午元曆上

　　演紀上元庚午，距太祖庚辰歲，積年二千二十七萬五千二百七十算外，上考往古，每年減一算，下驗將來，每年加一算。

　　步氣朔術

　　日法，五千二百三十。

　　歲實，一百九十一萬二百二十四。

　　通余，二萬七千四百二十四。

　　朔實，一十五萬四千四百四十五。

　　通閏，五萬六千八百八十四。

　　歲策，三百六十五，餘一千二百七十四。

　　朔策，二十九，餘二千七百七十五。

　　氣策，一十五，餘一千一百四十二，秒六十。

　　望策，一十四，餘四千二，秒四十五。

　　象策，七，餘二千一，秒二十二半。

　　沒限，四千八十七，秒三十。

　　朔虛分，二千四百五十五。

　　旬周，三十一萬三千八百。

　　紀法，六十。

　　秒母，九十。

　　求天正冬至

　　置上元庚午以來積年，以歲實乘之，為通積分；滿旬周，去之，不盡，以日法約之，為日，不盈，為餘；命壬戌算外，即得所求天正冬至大小餘也。先以裏差加減通積分，然後求之。求裏差術，具《月離》篇中。

　　求次氣

　　置天正冬至大小餘，以氣策及餘累加之，秒盈秒母從分，分滿日法從日，即得次氣日及餘分秒。

　　求天正經朔

　　置通積分，滿朔實去之，不盡，為閏餘；以減通積分，為朔積分；滿旬周，去之，不盡，如日法而一，為日，不盡，為餘，即得所求天正經朔大小餘也。

　　求弦望及次朔

　　置天正經朔大小餘，以象策累加之，即各得弦望及次朔經日及餘秒也。

　　求沒日

　　置有沒之氣恆氣小餘，如沒限以上，為有沒之氣；以秒母乘之，內其秒，用減四十七萬七千五百五十六；余，滿六千八百五十六而一；所得併入恆氣大餘內，命壬戌算外，即得為沒日也。

　　求滅日

　　置有滅之朔小餘，經朔小餘不滿朔虛分者。六因之，如四百九十一而一；所得並經朔大餘，命為滅日。

　　步卦候發斂術

　　候策，五，餘三百八十，秒八十。

　　卦策，六，餘四百五十七，秒六。

　　貞策，三，餘二百二十八，秒四十八。

　　秒母，九十。

　　辰法，二千六百一十五。

　　半辰法，一千三百七半。

　　刻法，三百一十三，秒八十。

　　辰刻，八，分一百四，秒六十。

　　半辰刻，四，分五十二，秒三十。

　　秒母，一百。

　　求七十二候

　　置節氣大小餘，命之為初候；以候策累加之，即得次候及末候也。

　　求六十四卦

　　置中氣大小餘，命之為公卦；以卦策累加之，得辟卦；又加，得候內卦；以貞策加之，得節氣之初，為候外卦；又以貞策加之，得大夫卦；又以卦策加之，為卿卦也。

　　求土王用事

　　以貞策減四季中氣大小餘，即得土王用事日也。

　　求發斂

　　置小餘，以六因之，如辰法而一，為辰數；不盡，以刻法除為刻，命子正算外，即得加時所在辰刻分也。如加半辰法，即命子初。

　　求二十四氣卦候

　　以下表格略

　　步日躔術

　　周天分，一百九十一萬二百九十二，秒九十八。

　　歲差，六十八，秒九十八。

　　秒母，一百。

　　周天度，三百六十五，分二十五，秒六十七。

　　象限，九十一，分三十一，秒九。

　　分秒母，一百。

　　二十四氣日積度盈縮

　　表略

　　二十四氣中積及朓朒

　　表略

　　求每日盈縮朓朒

　　各置其氣損益率，求盈縮，用盈縮之損益；求朓朒，用朓朒之損益。六因，如象限而一，為其氣中率；與後氣中率相減，為合差；半合差，加減其氣中率，為元末泛率，至後，加初減末；分後，減初加末。又置合差，六因，如象限而一，為日差；半之，加減初末泛率，為初末定率；至後，減初加末；分後，加初減末。以日差累加減氣初定率，為每日損益分；至後，減；分後，加。各以每日損益分加減氣下盈縮朓朒，為每日盈縮朓朒。二分前一氣無後率相減為合差者，皆用前氣合差。

　　求經朔弦望入氣

　　置天正閏餘，以日法除為日，不滿，為餘。如氣策以下，以減氣策，為入大雪氣；以上，去之，餘亦以減氣策，為入小雪氣；即得天正經朔入氣日及餘也。以象策累加之，滿氣策去之，即為弦望入次氣日及餘；因加得後朔入氣日及餘也。便為中朔望入氣。

　　求每日損益盈縮朓朒

　　以日差益加損減其氣初損益率，為每日損益率；馴積損益其氣盈縮朓朒積，為每日盈縮朓朒積。

　　求經朔弦望入氣朓朒定數

　　以各所求入氣小餘，以乘其日損益率，如日法而一；所得，損益其下朓朒積，為定數。便為中朔弦望朓朒定數。

　　赤道宿度

　　鬥二十五〓〓牛七少〓〓女十一少〓〓虛九少六十七秒〓〓危十五度半〓〓室十七〓〓壁八太

　　右北方七宿，九十四度六十七秒。〓

　　奎十六半〓〓婁十二〓〓胃十五〓〓昴十一少〓〓畢十七少〓觜半〓參十半〓

　　右西方七宿，八十三度。

　　井三十三少〓鬼二半〓柳十三太〓星六太〓張十七少〓翼十八〓軫十七

　　右南方七宿，一百九度少。

　　角十二〓亢九少〓氐十六〓房五太〓心六少〓尾十九少〓箕十半

　　右東方七宿，七十九度。

　　求冬至赤道日度

　　置通積分，以周天分去之；餘，日法而一，為度，不滿，退除為分秒；以百為母，命起赤道虛宿六度外，去之，不滿宿，即得所求年天正冬至加時日躔赤道宿度及分秒。其在尋斯幹之東西者，先以裏差加減通積分。

　　求春分夏至秋分赤道日度

　　置天正冬至加時赤道日度，累加象限，滿赤道宿次，去之，即各得春分、夏至、秋分加時日在宿度及分秒。

　　求四正赤道宿積度

　　置四正赤道宿全度，以四正赤道日度及分秒減之，餘為距後度；以赤道宿度累加之，各得四正後赤道宿積度及分秒。

　　求赤道宿積度入初末限

　　視四正後赤道宿積度及分，在四十五度六十五分五十四秒半以下，為入初限；以上者，用減象限，餘為入末限。

　　求二十八宿黃道度

　　置四正後赤道宿入初末限度及分，減一百一度；余，以初末限度及分乘之，進位，滿百為分，分滿百為度；至後以減、分後以加赤道宿積度，為其宿黃道積度；以前宿黃道積度減之，其四正之宿，先加象限，然後以前宿減之。為其宿黃道度及分。其分就近約為太半少。

　　黃道宿度

　　鬥二十三〓牛七〓女十一〓虛九少六十七秒〓危十六〓室十八少〓壁九半

　　右北方七宿，九十四度六十七秒。

　　奎十七太〓婁十二太〓胃十五半〓昴十二〓畢十六半〓觜半〓參九太

　　右西方七宿，八十三度太。

　　井三十半〓鬼二半〓柳十三少〓星六太〓張十七太〓翼二十〓軫十八半

　　右南方七宿，一百九度少。

　　角十二太〓亢九太〓氐十六少〓房五太〓心六〓尾十八少〓箕九半

　　右東方七宿，七十八度少。

　　前黃道宿度，依今曆歲差所在算定。如上考往古，下驗將來，當據歲差，每移一度，依術推變當時宿度，然後可步七曜，知其所在。

　　求天正冬至加時黃道日度

　　以冬至加時赤道日度分秒，減一百一度，餘以冬至加時赤道日度及分秒乘之，進位，滿百為分，分滿百為度，命曰黃赤道差；用減冬至加時赤道日度及分秒，即得所求年天正冬至加時黃道日度及分秒。

　　求二十四氣加時黃道日度

　　置所求年冬至日躔黃赤道差，以次年黃赤道差減之，餘以所求氣數乘之，二十四而一；所得，以加其氣中積度及約分，以其氣初日盈縮數盈加縮減之，用加冬至加時黃道日度，依宿次去之，即各得其氣加時黃道日躔宿度及分秒。如其年冬至加時赤道宿度空分秒在歲差以下者，即加前宿全度，然求黃赤道差，餘依術算。

　　求二十四氣及每日晨前夜半黃道日度

　　副置其恆氣小餘，以其氣初日損益率乘之，盈縮之損益。萬約之，應益者盈加縮減，應損者盈減縮加，其副日法除之，為度，不滿，退除為分秒，以減其氣加時黃道日度，即得其氣初日晨前夜半黃道日度。每日加一度，以萬乘之，又以每日損益數，盈縮之損益。應益者盈加縮減，應損者盈減縮加，為每日晨前夜半黃道日度及分秒。

　　求每日午中黃道日度

　　置一萬分，以所求入氣日損益數加減，益者，盈加縮減；損者，盈減縮加。半之，滿百為分，不滿為秒，以加其日晨前夜半黃道日度，即其日午中日躔黃道宿度及分秒。

　　求每日午中黃道積度

　　以二至加時黃道日度，距至所求日午中黃道日度，為入二至後黃道日積度及分秒。

　　求每日午中黃道入初末限

　　視二至後黃道積度，在四十三度一十二分八十七秒之以下為初限；以上，用減象限，餘為入末限。其積度，滿象限去之，為二分後黃道積度；在四十八度一十八分二十一秒之以下，為初限；以上，用減象限，餘為入末限。

　　求每日午中赤道日度

　　以所求日午中黃道積度，入至後初限、分後末限度及分秒，進三位，加二十萬二千五十少，開平方除之，所得減去四百四十九半，余在初限者，直以二至赤道日度加而命之；在末限者，以減象限，餘以二分赤道日度加而命之，即每日午中赤道日度。

　　以所求日午中黃道積度，入至後末限、分後初限度及分秒，進三位，用減三十萬三千五十少，開平方除之，所得，以減五百五十半，其在初限者，以所減之餘，直以二分赤道日度加而命之；在末限者，以減象限，餘以二至赤道日度加而命之，即每日午中赤道日度。

　　太陽黃道十二次入宮宿度

　　危〓十三度三十九分五十九秒外入衛分陬訾之次，辰在亥。

　　奎〓二度三十五分八十五秒外入魯分降婁之次，辰在戌。

　　胃〓四度二十四分三十三秒外入趙分大樑之次，辰在酉。

　　畢〓七度九十六分二十秒外入晉分實沈之次，辰在申。

　　井〓九度四十七分一十秒外入秦分鶉首之次，辰在未。

　　柳〓四度九十五分二十六秒外入周分鶉火之次，辰在午。

　　張〓十五度五十六分三十五秒外入楚分鶉尾之次，辰在巳。

　　軫〓十度四十四分五秒外入鄭分壽星之次，辰在辰。

　　氐〓一度七十七分七十七秒外入宋分大火之次，辰在卯。

　　尾〓三度九十七分七十二秒外入燕分析木之次，辰在寅。

　　鬥〓四度三十六分六十六秒外入吳越分星紀之次，辰在醜。

　　女〓二度九十一分九十一秒外入齊分玄枵之次，辰在子。

　　求入宮時刻

　　各置入宮宿度及分秒，以其日晨前夜半日度減之，相近一度之間者求之。餘以日法乘其分，其秒從於下，亦通乘之。為實；以其日太陽行分為法；實如法而一，所得，依發斂加時求之，即得其日太陽入宮時刻及分秒。

　　步晷漏術

　　中限，一百八十二日六十二分一十八秒。

　　冬至初限、夏至末限，六十二日二十分。

　　夏至初限、冬至末限，一百二十日四十二分。

　　冬至永安晷影常數，一丈二尺八寸三分。

　　夏至永安晷影常數，一尺五寸六分。

　　周法，一千四百二十八。

　　內外法，一萬八百九十六。

　　半法，二千六百一十五。

　　日法四分之三，三千九百二十二半。

　　日法四分之一，一千三百七半。

　　昏明分，一百三十分七十五秒。

　　昏明刻，二刻一百五十六分九十秒。

　　刻法，三百一十三分八十秒。

　　秒母，一百。

　　求午中入氣中積

　　置所求日大餘及半法，以所入氣大小餘減之，為其日午中入氣；以加其氣中積，為其日午中中積。小餘以日法除，為約分。

　　求二至後午中入初末限

　　置午中中積及分，如中限以下，為冬至後；以上，去中限，為夏至後。其二至後，如在初限以下，為初限；以上，覆減中限，餘為入末限也。

　　求午中晷影定數

　　視冬至後初限、夏至後末限，百通日內分，自相乘，副置之，以一千四百五十除之；所得，加五萬三百八，折半限分並之，除其副為分，分滿十為寸，寸滿十為尺，用減冬至地中晷影常數，為所求晷影定數。

　　視夏至後初限、冬至後末限，百通日內分，自相乘，為上位；下置入限分，以二百二十五乘之，百約之，加一十九萬八千七十五，為法；夏至前後半限以上者，減去半限，列於上位，下置半限，各百通日內分，先相減，後相乘，以七千七百除之，所得以加其法。及除上位為分，分滿十為寸，寸滿十為尺，用加夏至地中晷影常數，為所求晷影定數。

　　求四方所在晷影

　　各於其處測冬夏二至晷數，乃相減之，餘為其處二至晷差；亦以地中二至晷數相減，為地中二至晷差。其所求日在冬至後初限、夏至後末限者，如在半限以下，倍之；半限以上，覆減全限，餘亦倍之；併入限日，三因，折半，以日為分，十分為寸，以減地中二至晷差，為法；置地中冬至晷影常數，以所求日地中晷影定數減之，餘以其處二至晷差乘之，為實；實如法而一，所得，以減其處冬至晷數，即得其處其日晷影定數。所求日在夏至後初限、冬至後末限者，如在半限以下，倍之；半限以上，覆減全限，餘亦倍之；併入限日，三因，四除，以日為分，十分為寸，以加地中二至晷差，為法；置所求日地中晷影定數，以地中夏至晷影常數減之，餘以其處二至晷差乘之，為實；實如法而一，所得，以加其處夏至晷數，即得其處其日晷影定數。

　　二十四氣陟降及日出分

　　以下表格略

　　二分前後陟降率

　　春分前三日，太陽入赤道內，秋分後三日，太陽出赤道外，故其陟降與他日不倫，今各別立數而用之。

　　驚蟄，十二日陟四。六十七、一十六。此為末率，于此用畢。其減差亦止於此也。

　　十三日陟四。四十一、六。十四日陟四。三十八、九十。

　　十五日陟四。

　　秋分，初日降四。三十八。一日降四。二十九。二日降四。五十九。三日降四。六十八。

　　此為初率，始用之。其加差亦始於此也。

　　求每日日出入晨昏半晝分

　　各以陟降初率，陟減降加其氣初日日出分，為一日下日出分；以增損差仍加減加減差。增損陟降率，馴積而加減之，即為每日日出分；覆減日法，餘為日入分；以日出分減日入分，半之，為半晝分；以昏明分減日出分，為晨分；加日入分，為昏分。

　　求日出入辰刻

　　置日出入分，以六因之，滿辰法而一，為辰數；不盡，刻法除之，為刻，不滿為分。命子正算外，即得所求。

　　求晝夜刻

　　置日出分，十二乘之，刻法而一，為刻，不滿為分，即為夜刻；覆減一百，餘為晝刻及分秒。

　　求更點率

　　置晨分，四因之，退位，為更率；二因更率，退位，為點率。

　　求更點所在辰刻

　　置更點率，以所求更點數因之，又六因之，內加更籌刻，滿辰法而一，為辰數；不盡，滿刻法，除之，為刻數；不滿，為分；命其日辰刻算外，即得所求。

　　求四方所在漏刻

　　各於所在下水漏，以定其處冬至或夏至夜刻，乃與五十刻相減，餘為至差刻。置所求日黃道去赤道內外度及分，以至差刻乘之，進一位，如二百三十九而一，為刻；不盡，以刻法乘之，退除為分；內減外加五十刻，即得所求日夜刻；以減百刻，餘為晝刻。其日出入辰刻及更點差率等，並依前術求之。

　　求黃道內外度

　　置日出之分，如日法四分之一以上，去之，餘為外分；如日法四分之一以下，覆減之，餘為內分。置內外分，千乘之，如內外法而一，為度，不滿，退除為分秒，即為黃道去赤道內外度；內減外加象限，即得黃道去極度。

　　求距中度及更差度

　　置半法，以晨分減之，餘為距中分；百乘之，如周法而一，為距中度；用減一百八十三度一十二分八十三秒半，餘四因，退位，為每更差度。

　　求昏明五更中星

　　置距中度，以其日午中赤道日度加而命之，即昏中星所格宿次，因為初更中星；以更差度累加之，滿赤道宿次，去之，即得逐更及明中星。

　　步月離術

　　轉終分，一十四萬四千一百一十，秒六千二十，微六十。

　　轉終日，二十七，餘二千九百，秒六千二十，微六十。

　　轉中日，一十三，餘四千六十五，秒三千一十，微三十。

　　朔差日，一，餘五千一百四，秒三千九百七十九，微四十。

　　象策，七，餘二千一，秒二千五百。

　　秒母，一萬。

　　微母，一百。

　　上弦度，九十一，分三十一，秒四十一太。

　　望度，一百八十二，分六十二，秒八十三半。

　　下弦度，二百七十三，分九十四，秒二十五少。

　　月平行度，十三，分三十六，秒八十七半。

　　分秒母，一百。

　　七日初數，四千六百四十八，末數，五百八十二。

　　十四日初數，四千六十五，末數，一千一百六十五。

　　二十一日初數，三千四百八十三，末數，一千七百四十七。

　　二十八日初數，二千九百一。

　　求經朔弦望入轉凡稱秒者，微從之，他仿此。

　　置天正朔積分，以轉終分及秒去之，不盡，如日法而一，為日，不滿為餘秒，即天正十一月經朔入轉日及餘秒；以象策累加之，去命如前，得弦望經日加時入轉及餘秒；徑求次朔入轉，即以朔差加之。加減裏差，即得中朔弦望入轉及餘秒。

　　以下表格略

　　求中朔弦望入轉朓朒定數

　　置入轉小餘，以其日算外損益率乘之，如日法而一，所得，以損益朓朒積，為定數。其四七日下余，如初數以下，初率乘之，如初數而一，以損益朓朒積，為定數；如初數以上，以初數減之，餘乘末率，如末數而一，用減初率，餘如朓朒積，為定數。其十四日下余，如初數以上，以初數減之，餘乘末率，如末數而一，為朓朒定數。

　　求朔弦望中日

　　以尋斯幹城為准，置相去地裏，以四千三百五十九乘之，退位，萬約為分，曰裏差；以加減經朔弦望小余，滿與不足，進退大餘，即中朔弦望日及餘。以東加之，以西減之。

　　求朔弦望定日

　　置中朔弦望小餘，朓減朒加入氣入轉朓朒定數，滿與不足，進退大餘，命壬戌算外，各得定朔弦望日辰及餘。定朔幹名與後朔同者，其月大；不同者，其月小；月內無中氣者，為閏。視定朔小余，秋分後在日法四分之三以上者，進一日；春分後，定朔日出分與春分日出分相減之，餘者，三約之，用減四分之三；定朔小餘及此分以上者，亦進一日；或有交，虧初於日入前者，不進之。定弦望小餘，在日出分以下者，退一日；或有交，虧初於日出前者，小餘雖在日出後，亦退之。如望在十七日者，又視定朔小餘在四分之三以下之數，春分後用減定之數。與定望小餘在日出分以上之數相校之，朔少望多者，望不退，而朔猶進之；望少朔多者，朔不進，而望猶退之。日月之行，有盈縮遲疾；加減之數，或有四大三小。若循常當察加時早晚，隨所近而進退之，使不過四大三小。

　　求定朔弦望中積

　　置定朔弦望小餘，與中朔弦望小餘相減之，餘以加減經朔弦望入氣日餘，中朔弦望，少即加之，多即減之。即為定朔弦望入氣；以加其氣中積，即為定朔弦望中積。其餘，以日法退除為分秒。

　　求定朔弦望加時日度

　　置定朔弦望約餘，以所入氣日損益率乘之，盈縮之損益。萬約之，以損益其下盈縮積，乃盈加縮減定朔弦望中積，又以冬至加時日躔黃道宿度加之，依宿次去之，即得定朔弦望加時日所在度分秒。

　　又法：置定朔弦望約餘，副之，以乘其日盈縮之損益率，萬約之，應益者盈加縮減，應損者盈減縮加，其副滿百為分，分滿百為度，以加其日夜半日度，命之，各得其日加時日躔黃道宿次。若先於曆中註定每日夜半日度，即用此法為准也。

　　求定朔弦望加時月度

　　凡合朔加時日月同度，其定朔加時黃道日度即為定朔加時黃道月度；弦望，各以弦望度加定朔弦望加時黃道日度，依宿次去之，即得定朔弦望加時黃道月度及分秒。

　　求夜半午中入轉

　　置中朔入轉，以中朔小餘減之，為中朔夜半入轉。又中朔小餘，與半法相減之，餘以加減中朔加時入轉，中朔少如半法，加之；多如半法，減之。為中朔午中入轉。若定朔大餘有進退者，亦加減轉日，否則因中為定，每日累加一日，滿轉終日及餘秒，去命如前，各得每日夜半午中入轉。求夜半，因定朔夜半入轉累加之；求午中，因定朔午中入轉累加之；求加時入轉者，如求加時入氣之術法。

　　求加時及夜半月度

　　置其日入轉算外轉定分，以定朔弦望小餘乘之，如日法而一，為加時轉分；分滿百為度。減定朔弦望加時月度，為夜半月度。以相次轉定分累加之，即得每日夜半月度。或朔至弦望，或至後朔，皆可累加之。然近則差少，遠則差多。置所求前後夜半相距月度為行度，計其日相距入轉積度，與行度相減，餘以相距日數除之，為日差行度。多日差加每日轉定分行度，少日差減每日轉定分而用之可也。欲求速，即用此數。欲究其微，而可用後術。

　　求晨昏月度

　　置其日晨分，乘其日算外轉定分，日法而一，為晨轉分；用減轉定分，餘為昏轉分。又以朔望定小餘，乘轉定分，日法而一，為加時分，以減晨昏轉分，為前；不足，覆減之，為後；乃前加後減加時月度，即晨昏月度所在宿度及分秒。

　　求朔弦望晨昏定程

　　各以其朔昏定月減上弦昏定月，餘為朔後昏定程。以上弦昏定月，減望昏定月，餘為上弦後昏定程。以望晨定月，減下弦晨定月，餘為望後晨定程。以下弦晨定月，減後朔晨定月，餘為下弦後晨定程。

　　求每日轉定度

　　累計每定程相距日下轉積度，與晨昏定程相減，餘以相距日數除之，為日差；定程多，加之；定程少，減之。以加減每日轉定分，為轉定度；因朔弦望晨昏月，每日累加之，滿宿次去之，為每日晨昏月度及分秒。凡注曆，朔日已後注昏月，望後一日注晨月。古曆有九道月度，其數雖繁，亦難削去，具其術。

　　求正交日辰

　　置交終日及餘秒，以其月經朔加時入交泛日及餘秒減之，余為平交入其月經朔加時後日算及餘秒；中朔同。以加其月中朔大小餘，其大餘命壬戌算外，即得平交日辰及餘秒。求次交者，以交終日及餘秒加之，如大余滿紀法，去之，命如前，即得次平交日辰及餘秒也。

　　求平交入轉朓朒定數

　　置平交小餘，加其日夜半入轉，餘以乘其日損益率，日法而一，所得，以損益其日下朓朒積，為定數。

　　求平交日辰

　　置平交小余，以平交入轉朓朒定數朓減朒加之，滿與不足，進退日辰，即得正交日辰及餘秒；與定朔日辰相距，即得所在月日。

　　求中朔加時中積

　　各以其月中朔加時入氣日及餘，加其氣中積及餘，其日命為度，其餘，以日法退除為分秒，即其月中朔加時中積度及分秒。

　　求正交加時黃道月度

　　置平交入中朔加時後日算及餘秒，以日法通日內餘進二位，如三萬九千一百二十一為度，不滿，退除為分秒，以加其月中朔加時中積，然後以冬至加時黃道日度加而命之，即得其月正交加時月離黃道宿度及分秒。如求次交者，以交中度及分秒加而命之，即得所求。

　　求黃道宿積度

　　置正交加時黃道宿全度，以正交加時月離黃道宿度及分秒減之，餘為距後度及分秒；以黃道宿度累加之，即各得正交後黃道宿積度及分秒。

　　求黃道宿積度入初末限

　　置黃道宿積度及分秒，滿交象度及分秒去之，餘在半交象以下為初限；以上者，減交象度，餘為末限。入交積度、交象度，並在《交會篇》中。

　　求月行九道宿度

　　凡月行所交，冬入陰曆，夏入陽曆，月行青道；冬至夏至後，青道半交在春分之宿，當黃道東；立冬立夏後，青道半交在立春之宿，當黃道東南；至所沖之宿，亦皆如之也。宜細推。冬入陽曆，夏入陰曆，月行白道；冬至夏至後，白道半交在秋分之宿，當黃道西；立冬立夏後，白道半交在立秋之宿，當黃道西北；至所沖之宿，亦如之也。春入陽曆，秋入陰曆，月行硃道；春分秋分後，硃道半交在夏至之宿，當黃道南；立春立秋後，硃道半交在立夏之宿，當黃道西南；至所沖之宿，亦如之也。春入陰曆，秋入陽曆，月行黑道。春分秋分後，黑道半交在冬至之宿，當黃道北；立春立秋後，黑道半交在立冬之宿，當黃道東北；至所沖之宿，亦如之也。四時離為八節，至陰陽之所交，皆與黃道相會，故月行有九道。各以所入初入初末限度及分，減一百一度，餘以所入初入初末限度及分乘之，半而退位為分，分滿百為度，命為月道與黃道泛差。

　　凡日以赤道內為陰，外為陽；月以黃道內為陰，外為陽。故月行正交，入夏至後宿度內為同名，入冬至後宿度內為異名。其在同名者，置月行與黃道泛差，九因之，八約之，為定差；半交後，正交前，以差減；正交後，半交前，以差加；此加減出入六度，正如黃赤道相交同名之差，若較之漸異，則隨交所在遷變不常。仍以正交度距秋分度數，乘定差，如象限而一，所得，為月道與赤道定差；前加者為減，減者為加。其在異名者，置月行與黃道泛差，七因之，八約之，為定差；半交後，正交前，以差加；正交後，半交前，以差減；此加減出入六度，正如黃赤道相交異名之差，若較之漸同，則隨交所在遷變不常。仍以正交度距春分度數，乘定差，如象限而一，所得，為月道與赤道定差；前加者為減，減者為加，各加減黃道宿積度，為九道宿積度；以前宿九道積度減之，為其宿九道度及分秒。其分就近約為太、半、少，論春夏秋冬，以四時日所在宿度為正。

　　求正交加時月離九道宿度

　　以正交加時黃道日度及分，減一百一度，餘以正交度及分乘之，半而退位為分，分滿百為度，命為月道與黃道泛差。其在同名者，置月行與黃道泛差，九因之，八約之，為定差，以加；仍以正交度距秋分度數乘定差，如象限而一，所得，為月道與赤道定差，以減。其異名者，置月行與黃道泛差，七因之，八約之，為定差，以減；仍以正交度距春分度數，乘定差，如象限而一，所得，為月道與赤道定差，以加。置正交加時黃道月度及分，以二差加減之，即為正交加時月離九道宿度及分。

　　求定朔弦望加時月所在度

　　置定朔加時日躔黃道宿次，凡合朔加時，月行潛在日下，與太陽同度，是為加時月離宿次；各以弦望度及分秒，加其所當弦望加時日躔黃道宿度，滿宿次，去之，命如前，各得定朔弦望加時月所在黃道宿度及分秒。

　　求定朔弦望加時九道月度

　　各以定朔弦望加時月離黃道宿度及分秒，加前宿正交後黃道積度，為定朔弦望加時正交後黃道積度；如前求九道積度，以前宿九道積度減之，餘為定朔弦望加時九道月離宿度及分秒。其合朔加時，若非正交，則日在黃道，月在九道，所入宿度雖多少不同，考其兩極若繩准。故雲月行潛在日下，與太陽同度，即為加時。九道月度，求其晨昏夜半月度，並依前術。

小小朋友

元史卷五十七

志第九　　曆六

　　○庚午元曆下

　　步交會術

　　交終分，一十四萬二千三百一十九，秒九千三百六，微二十。

　　交終日，二十七，餘一千一百九，秒九千三百六，微二十。

　　交中日，一十三，餘三千一百六十九，秒四千六百五十三，微一十。

　　交朔日，二，餘一千六百六十五，秒六百九十三，微八十。

　　交望日，一十四，餘四千二，秒五千。

　　秒母，一萬。

　　微母，一百。

　　交終度，三百六十三，分七十九，秒三十六。

　　交中度，一百八十一，分八十九，秒六十八。

　　交象度，九十，分九十四，秒八十四。

　　半交象度，四十五，分四十七，秒四十二。

　　日食既前限，二千四百。定法，二百四十八。

　　日食既後限，三千一百。定法，三百二十。

　　月食限，五千一百。

　　月食既限，一千七百。定法，三百四十。

　　分秒母，皆一百。

　　求朔望入交先置裏差，半之，如九而一，所得依其加減天正朔積分，然後求之。

　　置天正朔積分，以交終分去之，不盡，如日法而一，為日，不滿為餘，即得天正十一月中朔入交泛日及餘秒。便為中朔加時入交泛日及餘。交朔加之，得次朔；交望加之，得望；再加交望，亦得次朔；各為朔望入交泛日及餘秒。凡稱餘秒者，微亦從之，餘仿此。

　　求定朔及每日夜半入交

　　各置入交泛日及餘秒，減去中朔望小餘，即為定朔望夜半入交泛日及餘秒。若定朔望有進退者，亦進退交日，否則因中為定，大月加二日，小月加一日，餘皆加四千一百二十，秒六百九十三，微八十，即次朔夜半入交；累加一日，滿交終日及餘秒，去之，即每日夜半入交泛日及餘秒。

　　求定朔望加時入交

　　置中朔望加時入交泛日及餘秒，以入氣入轉朓朒定數朓減朒加之，即得定朔望加時入交泛日及餘秒。

　　求定朔望加時入交積度及陰陽曆

　　置定朔望加時入交泛日，以日法通之，內餘進二位，如三萬九千一百二十一而一，為度，不滿，退除為分秒，即得定朔望加時月行入交積度；以定朔望加時入轉遲疾度遲減疾加之，即為月行入定交積度；如交中度以下，為入陽曆積度，以上，去之，為入陰曆積度。每日夜半准此求之。

　　求月去黃道度

　　視月入陰陽曆積度及分，交象以下，為少象；以上，覆減交中，餘為老象。置所入老少象度於上位，列交象度於下，相減，相乘，倍之，退位為分，分滿百為度，用減所入老少象度及分；餘，又與交中度相減、相乘，八因之，以一百一十除之，為分，分滿百為度，即得月去黃道度及分。

　　求朔望加時入交常日及定日

　　置朔望入交泛日，以入氣朓朒定數朓減朒加，為入交常日。又置入轉朓朒定數，進一位，以一百二十七而一，所得，朓減朒加交常日，為入交定日及餘秒。

　　求入交陰陽曆交前後分

　　視入交定日，如交中以下，為陽曆；以上，去之，為陰曆。如一日上下，以日法通日內分，內餘為交後分；十三日上下，覆減交中日，餘為交前分。

　　求日月食甚定餘

　　置朔望入氣入轉朓朒定數，同名相從，異名相消，以一千三百三十七乘之，以定朔望加時入轉算外轉定分除之，所得，以朓減朒加中朔望小餘，為泛餘。日食，視泛餘，如半法以下，為中前，半法以上，去之，為中後。置中前後分，與半法相減、相乘，倍之，萬約為分，曰時差。中前以時差減泛餘，為定餘；覆減半法，餘為午前分；中後以時差加泛餘，為定餘；減去半法，餘為午後分。月食，視泛餘，在日入後夜半前，如日法四分之三以下，減去半法，為酉前分；四分之三以上，覆減日法，餘為酉後分。又視泛餘，在夜半後日出前者，如日法四分之一以下，為卯前分；四分之一以上，覆減半法，餘為卯後分。其卯酉前後分，自相乘，四因，退位，萬約為分，以加泛餘，為定餘。各置定餘，以發斂加時法求之，即得日月食甚辰刻及分秒。

　　求日月食甚日行積度

　　置定朔望食甚大小餘，與中朔望大小餘相減之，餘以加減中朔望入氣日餘，以中朔望少加多減。即為食甚入氣；以加其氣中積，為食甚中積。又置食甚入氣餘，以所入氣日損益率盈縮之損益。乘之，如日法而一，以損益其日盈縮積，盈加縮減食甚中積，即為食甚日行積度及分。先以食甚中積經分為約分，然後加減之，餘類此者，依而求之。

　　求氣差

　　置日食食甚日行積度及分，滿中限去之，餘在象限以下，為初限；以上，覆減中限，為末限；皆自相乘，進二位，以四百七十八而一，所得，用減一千七百四十四，餘為氣差恆數；以午前後分乘之，半晝分除之，所得，以減恆數，為定數。如不及減者，覆減為定數，應加者減之，應減者加之。春分後，陽曆減陰曆加；秋分後，陽曆加陰曆減。春分前秋分後，各二日二千一百分為定氣，於此宜加減之。

　　求刻差

　　置日食食甚日行積度及分，滿中限去之，餘與中限相減、相乘，進二位，如四百七十八而一，所得，為刻差恆數；以午前後分乘之，日法四分之一除，所得，為定數。若在恆數以上者，倍恆數，以所得之數減之，為定數，依其加減。冬至後，午前陽加陰減，午後陽減陰加；夏至後，午前陽減陰加，午後陽加陰減。

　　求日食去交前後定分

　　置氣刻二差定數，同名相從，異名相消，為食差；依其加減去交前後分，為去交前後定分。視其前後定分，如在陽曆，即不食；如在陰曆，即有食之。如交前陰曆不及減，反減之，反減食差。為交後陽曆；交後陰曆不及減，反減之，為交前陽曆；即不食。交前陽曆不及減，反減之，為交後陰曆；交後陽曆不及減，反減之，為交前陰曆；即日有食之。

　　求日食分

　　視去交前後定分，如二千四百以下，為既前分；以二百四十八除，為大分；二千四百以上，覆減五千五百，不足減者不食。為既後分；以三百二十除，為大分，不盡，退除為秒。其一分以下者，涉交太淺，太陽光盛，或不見食。

　　求月食分

　　視去交前後分，不用氣刻差者。一千七百以下者，食既；以上，覆減五千一百，不足減者不食。餘以三百四十除之，為大分；不盡，退除為秒，即月食之分秒。去交分在既限以下，覆減既限，亦以三百四十除之，為既內之大分。

　　求日食定用分

　　置日食之大分，與二十分相減、相乘，又以二千四百五十乘之，如定朔入轉算外轉定分而一，所得，為定用分；減定余，為初虧分；加定餘，為複圓分；各以發斂加時法求之，即得日食三限辰刻也。

　　求月食定用分

　　置月食之大分，與三十五分相減、相乘，又以二千一百乘之，如定望入轉算外轉定分而一，所得，為定用分；加減定余，為初虧複圓分。各如發斂加時法求之，即得月食三限辰刻。

　　月食既者，以既內大分，以一十五分相減相乘，又以四千二百乘之，如定望入轉算外轉定分而一，所得為既內分；用減定用分，為既外分。置月食定餘，減定用分，為初虧分；因加既外分，為食既分；又加既內分，為食甚分；即定餘分是也。再加既內分，為生光分；複加既外分，為複圓分。各以發斂加時法求之，即得月食五限辰刻及分。如月食既者，以十分並既內大分，如其法而求其定用分也。

　　求月食所入更點

　　置食甚所入日晨分，倍之，五約之，為更法；又五約之，為點法。乃置月食初末諸分，昏分以上者，減昏分；晨分以下者，加晨分；如不滿更法，為初更；不滿點法，為一點。依法以次求之，即得更點之數。

　　求日食所起

　　食在既前，初起西南，甚于正南，複于東南。食在既後，初起西北，甚於正北，複于東北。其食八分以上者，皆起正西，複正東。此據正午地而論之。

　　求月食所起

　　月在陽曆，初起東北，甚於正北，複於西北。月在陰曆，初起東南，甚于正南，複於西南。其食八分以上，皆起正東，複正西。此亦據正午地而論之。

　　求日月出入帶食所見分數

　　各以食甚小餘，與日出入分相減，餘為帶食差；以乘所食之分，滿定用分而一，月食既者，以既內分減帶食差，餘乘所食分，如既外分而一，不及減者，為帶食既出入。以減所食分，即日月出入帶食所見之分。其食甚在晝，晨為漸進，昏為已退；食甚在夜，晨為已退，昏為漸進也。

　　求日月食甚宿次

　　置日月食甚日行積度，望即更加望度。以天正冬至加時黃道日度加而命之，依黃道宿次去之，即各得日月食甚宿度及分秒。

　　步五星術

　　木星

　　周率，二百八萬六千一百四十二，秒九。

　　曆率，二千二百六十五萬五百五十七。

　　曆度法，六萬二千一十四。

　　周日，三百九十八日八十八分。

　　曆度，三百六十五度二十四分九十秒。

　　曆中，一百八十二度六十二分四十五秒。

　　曆策，一十五度二十一分八十七秒。

　　伏見，一十三度。

　　以下表格略

　　火星

　　周率，四百七萬九千四十二，秒一十四半。

　　曆率，三百五十九萬二千七百五十七，秒四十四少。

　　曆度法，九千八百三十六半。

　　周日，七百七十九日九十三分一十六秒。

　　曆度，三百六十五度二十四分七十五秒。

　　曆中，一百八十二度六十二分三十七秒半。

　　曆策，一十五度二十一分八十六秒。

　　伏見，一十九度。

　　以下表格略

　　土星

　　周率，一百九十七萬七千四百一十一，秒六十九。

　　曆率，五千六百二十二萬三千二百四十八半。

　　曆度法，一十五萬三千九百二十八。

　　周日，三百七十八日九分二秒。

　　曆度，三百六十五度二十五分六十八秒。

　　曆中，一百八十二度六十二分八十四秒。

　　曆策，一十五度二十一分九十秒。

　　伏見，一十七度。

　　以下表格略

　　金星

　　周率，三百五萬三千八百四，秒六十三太。

　　曆率，一百九十一萬二百四十，秒七十六半。

　　曆度法，五千二百三十。

　　周日，五百八十三日九十分一十四秒。

　　合日，二百九十一日九十五分七秒。

　　曆度，三百六十五度二十四分六十八秒。

　　曆中，一百八十二度六十二分三十四秒。

　　曆策，一十五度二十一分八十六秒。

　　伏見，一十度半。

　　以下表格略

　　水星

　　周率，六十萬六千三十一，秒七十七半。

　　曆率，一百九十一萬二百四十二，秒一十三半。

　　曆度法，五千二百三十。

　　周日，一百一十五日八十七分六十秒。

　　合日，五十七日九十三分八十秒。

　　曆度，三百六十五度二十四分七十秒。

　　曆中，一百八十二度六十二分三十五秒。

　　曆策，一十五度二十一分八十五秒。

　　晨伏夕見，一十四度。

　　夕伏晨見，一十九度。

　　以下表格略

　　求五星天正冬至後平合及諸段中積中星

　　置通積分，先以裏差加減之。各以其星周率去之，不盡，為前合分；覆減周率，餘為後合分；如日法而一，不滿，退除為分秒，即得其星天正冬至後平合中積中星。命為日，曰中積；命為度，曰中星。以段日累加中積，即為諸段中積；以平度累加中星，經退則減之，即為諸段中星。

　　求五星平合及諸段入曆

　　置通積分，各加其星後合分，以曆率去之，不盡，各以其曆度法除為度，不滿，退除為分秒，即為其星平合入曆度及分秒；以諸段限度累加之，即得諸段入曆度及分秒。

　　求五星平合及諸段盈縮定差

　　各置其星段入曆度及分秒，如在曆中以下，為盈；以上，減去曆中，餘為縮。以其星曆策除之，為策數；不盡，為入策度及分。命策數算外，以其策損益率乘之，餘曆策而一，為分，以損益其下盈縮積度，即為其星段盈縮定差。

　　求五星平合及諸段定積

　　各置其星段中積，以其段盈縮定差盈加縮減之，即得其段定積日及分；加天正冬至大餘及約分，滿紀法，去之，不滿，命壬戌算外，即得日辰也。

　　求五星平合及諸段所在月日

　　各置其段定積，以加天正閏日及約分，以朔策及約分除之，為月數；不盡，為入月以來日數及分。其月數，命天正十一月算外，即得其段入月中朔日數及分；乃以日辰相距，為所在定朔月日。

　　求五星平合及諸段加時定星

　　各置中星，以盈縮定差盈加縮減，金星倍之，水星三之，然後加減。即為五星諸段定星；以加天正冬至加時黃道日度，依宿次命之，即其星其段加時所在宿度及分秒。

　　求五星諸段初日晨前夜半定星

　　各以其段初行率，乘其段定積日下加時分，百約之，乃順減退加其日加時定星，即其段初日晨前夜半定星所在宿度及分秒。

　　求諸段日率度率

　　各以其段日辰，距後段日辰為日率。以其段夜半宿次，與後段夜半宿次相減，餘為度率。

　　求諸段平行分

　　各置其段度率及分秒，以其段日率除之，即得其段平行度日及分秒。

　　求諸段總差及日差

　　本段前後平行分相減，為其段泛差；假令求木星次疾泛差，乃以順疾順遲平行分相減，餘為次疾泛差，他皆仿此。倍而退位，為增減差；加減其段平行分，為初末日行分；前多後少者，加為初，減為末；前少後多者，減為初，加為末。倍增減差，為總差；以日率減一除之，為日差。

　　求前後伏遲退段增減差

　　前伏者，置後段初日行分，加其日差之半，為末日行分；後伏者，置前段末日行分，加其日差之半，為初日行分；以減伏段平行分，餘為增減差。前遲者，置前段末日行分，倍其日差減之，為初日行分；後遲者，置後段初日行分，倍其日差減之，為末日行分；以遲段平行分減之，餘為增減差。前後近留遲段。木火土三星，退行者，六因平行分，退一位，為增減差。金星，前後伏退者，三因平行分，半而退位，為增減差。前退者，置後段初日之行分，以其日差減之，為末日行分。後退者，置前段末日之行分，以其日差減之，為初日行分；以本段平行分減之，餘為增減差。水星，平行分為增減差，皆以增減差加減平行分，為初末日行分。前多後少，加初減末；前少後多，減初加末。又倍增減差為總差，以日率減一，除之，為日差。

　　求每日晨前夜半星行宿次

　　各置其段初日行分，以日差累損益之，後少則損之，後多則益之。為每日行度及分秒；乃順加退減之，滿宿次去之，即得每日晨前夜半星行宿次。視前段末日後段初日行分相較之數，不過一二日差為妙；或多日差數倍，或顛倒不倫，當類同前後增減差稍損益之，使其有倫，然後用之。或前後平行分俱多俱少，則平注之；或總差之秒不盈一分，亦平注之；若有不倫而平注得倫者，亦平注之。

　　求五星平合及見伏入氣

　　置定積，以氣策及約分除之，為氣數；不滿，為入氣日及分秒；命天正冬至算外，即得所求平合及見伏入氣日及分秒。

　　求五星平合及見伏行差

　　各以其段初日星行分與太陽行分相減，餘為行差。若金在退行、水在退合者，相並為行差。如水星夕伏晨見者，直以太陽行分為行差。

　　求五星定合及見伏泛積

　　木火土三星，各以平合晨疾夕伏定積，為定合定見定伏泛積。金水二星，置其段盈縮定差，水星倍之。各以行差除之，為日，不滿，退除為分秒；若在平合夕見晨伏者，盈減縮加；如在退合夕伏晨見，盈加縮減；皆以加減定積為定合定見定伏泛積。

　　求五星定合定積定星

　　木火土三星，各以平合行差除其日太陽盈縮差，為距合差日；以太陽盈縮差減之，為距合差度；日在盈縮，以差日差度減之；在縮曆，加之；加減其星定合泛積，為定合定積定星。金水二星，順合退合，各以平合退合行差，除其日太陽盈縮差，為距合差日；順加退減太陽盈縮差，為距合差度；順在盈曆，以差日差度加之；在縮曆，減之；退在盈曆，以差日減之，差度加之；在縮曆，以差日加之，差度減之；皆以加減其定星定合再定合泛積，為定合再定合定積定星；以冬至大餘及約分加定積，滿紀法，去之，命得定合日辰；以冬至加時黃道日度加定星，滿宿次，去之，即得定合所在宿次。其順退所在盈縮，即太陽盈縮。

　　求木火土三星定見伏定日

　　各置其星定見伏泛積，晨加夕減象限日及分秒；半中限為象限。如中限以下，自相乘；以上，覆減歲周日及分秒，餘亦自相乘；滿七十五而一，所得，以其星伏見度乘之，一十五除之，為差。其差，如其段行差而一，為日，不滿，退除為分秒；見加伏減泛積，為定積；加命如前，即得日辰。

　　求金水二星定見伏定日

　　各以伏見日行差，除其日太陽盈縮差，為日。若晨伏夕見，日在盈曆，加之；在縮曆，減之；如夕伏晨見，日在盈縮，減之，在縮曆，加之；加減其星泛積，為常積。視常積，如中限以下，為冬至後；以上，去之，餘為夏至後。其二至後，如象限以下，自相乘；以上，覆減中限，餘亦自相乘；各如法而一為分，冬至後晨，夏至後夕，以一十八為法；冬至後夕，夏至後晨，以七十五為法。以伏見度乘之，一十五除之，為差。其差，滿行差而一，為日，不滿，退除為分秒；加減常積，為定積；冬至後，晨見夕伏，加之；夕見晨伏，減之。夏至後，晨見夕伏，減之；夕見晨伏，加之。加命如前，即得定見伏日辰。

　　其水星，夕疾在大暑氣初日至立冬氣九日三十五分以下者，不見；晨留在大寒氣初日至立夏氣九日三十五分以下者，不見。春不晨見，秋不夕見者，亦舊曆有之。